递归求解棋盘覆盖问题

一、实验目的

1.掌握基于递归方法求解分治问题的基本原理。

2.掌握棋盘覆盖问题递归函数的设计方法。

3.掌握基于递归分治方法求解棋盘覆盖问题的具体步骤。

4．具备运用递归分治方法设计算法并解决其他实际应用问题的能力

5. 通过对棋盘覆盖问题的求解，加深对递归和分治思想的理解

二、实验环境

操作系统：Windows10

实验平台：CodeBlocks

编译器：Gcc

实验语言：C++

三、实验内容

用4种不同的L型骨牌覆盖一个给定的特殊棋盘上除去特殊方格外的所有方格，且任何两个L型骨牌不得重复覆盖（在一个2^k*2^k个方格组成的棋盘中，若恰有一个方格与其他方格不同，则称该方格为特殊方格，在程序实现中，用字符0表示特殊方格），如图所示，红色为特殊方格，其次为覆盖所用到的4种不同的L型骨牌。

四、算法描述

分析可知：在2^k*2^k的棋盘覆盖中，用到的L型骨盘数为（4^k-1)/3个,即（所有方格个数-特殊方格个数）/3 ，特殊方格出现的位置有4^k种情况，即k>=0,有4^k种不同的特殊棋盘将2k x 2k的棋盘划分为2(k-1) x 2(k-1)这样的子棋盘4块。

递归填充各个棋子，填充分为四种情况

1. 如果特殊方格在左上子棋盘，则递归填充左上子棋盘；否则填充左上子棋盘的右下角，将右下角看作特殊方格，然后递归填充左上棋盘。

2. 如果特殊方格在右上子棋盘，则递归填充右上子棋盘；否则填充右上子棋盘的左下角，将左下角看作特殊方格，然后递归填充右上棋盘。

3. 如果特殊方格在左下子棋盘，则递归填充左下子棋盘；否则填充左下子棋盘的右上角，将右上角看作特殊方格，然后递归填充左下棋盘。

4. 如果特殊方格在右下子棋盘，则递归填充右下子棋盘；否则填充右下子棋盘的左上角，将左上角看作特殊方格，然后递归填充右下棋盘。

时间复杂度分析：

五、实验结果

输入K=3，即棋盘大小为8*8格，设置特殊方格坐标为（0，1），即棋盘第一行第二个位置，程序运行结果显示可以覆盖（L型骨牌分别用‘!’，‘#’，‘*’的组合进行标识）

输入K=4，即棋盘大小为16*16格，设置特殊方格坐标为（0，1），即棋盘第一行第二个位置，程序运行结果显示可以覆盖（L型骨牌分别用‘!’，‘#’，‘*’的组合进行标识）

六、实验总结

通过棋盘覆盖试验，理解了递归与分治策略算法的思想和递归程序的执行过程，深刻了解到递归对于简化程序编写的重要作用，了解到递归可以使代码更加清晰，可读性更好，减轻了程序编写者的负担。通过实验，增强了编写递归程序和分治算法的能力。

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int maxn = 16384;
//最多支持k等于14 即2 14次方
int tile = 1;//全局变量 骨牌编号
char Board[maxn][maxn];//棋盘
void ChessBoard(int tr,int tc,int dr,int dc,int size);

int main()
{
    int k;
    int a, b;
    cout << "please input k(the size of chessboard):" << endl;
    cin >> k;
    cout << "input the specoial point position:" << endl;
    cin >> a >> b;

    int aSize = pow(2,k);
    for(int i=0; i=tc+s)//特殊方格在此棋盘中
    {
        ChessBoard(tr,tc+s,dr,dc,s);
    }
    else//特殊方格不在此棋盘中
    {
        //用编号为t的骨牌覆盖左下角
        Board[tr+s-1][tc+s] = signal;
        //覆盖其余方格
        ChessBoard(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s);
    }

    //覆盖左下角子棋盘
    if(dr>=tr+s && dc=tr+s && dc>=tc+s)//特殊方格在此棋盘中
    {
        ChessBoard(tr+s,tc+s,dr,dc,s);
    }
    else//特殊方格不在此棋盘中
    {
        //用编号为t的骨牌覆盖左上角
        Board[tr+s][tc+s] = signal;
        //覆盖其余方格
        ChessBoard(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s);
    }

}