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单缝衍射的MATLAB 分析

学院： 精密仪器与光电子工程学院 专业： 生物医学工程 班级： 1班 姓名：

单缝衍射的MATLAB 分析

摘要:在光的衍射概述和发展历史的基础上，说明了单缝衍射的图样特点，介绍了夫琅禾费衍射和菲涅耳衍射，几种实现夫琅禾费衍射的方法和原理及光强、条纹分布特点。并利用衍射公式的近似对基尔霍夫衍射公式进行了推导，从理论上得出了夫琅禾费单缝衍射的光强公式，利用Matlab 软件进行了光强分布的图样仿真，并用实验采集到的图样对理论和仿真的结论进行了验证，计算结果与实验结果得到了很好的吻合。

关键字：单缝衍射 夫琅禾费单缝衍射 光强分布 条纹分布

一、光的衍射概述

1. 光的衍射现象

物理光学中，光的衍射现象是指光波在空间传播遇到障碍时，其传播方向会偏离直线

传播，弯入到障碍物的几何阴影中，并呈现光强的不均匀分布的现象。通常将观察屏上的不均匀的光强分布称为衍射图样。光的衍射是光的波动性的主要标志之一。

光波遇到障碍物以后会或多或少地偏离几何光学传播定律的现象。几何光学表明，光在均匀媒质中按直线定律传播，光在两种媒质的分界面按反射定律和折射定律传播。但是，光是一种电磁波，当一束光通过有孔的屏障以后，其强度可以波及到按直线传播定律所划定的几何阴影区内，也使得几何照明区内出现某些暗斑或暗纹。

1.1衍射现象的基本问题

1. 已知照明光场和衍射屏的特征，求屏幕上衍射光场的分布； 2. 已知衍射屏及屏幕上衍射光场的发布，去探索照明光场的某些特性；

3. 已知照明光场及屏幕上所需的衍射光场发布，设计、计算衍射屏的结构和制造衍射光学元件。

1.2衍射现象的分类

根据光源、衍射物(衍射屏)和衍射场(观察屏)三者之间的位置确定 1．夫琅和费衍射：(远场衍射)

光源和衍射场都在衍射物无限远处的衍射。

2．菲涅耳衍射 ：(近场衍射)

光源和衍射场或二者之一到衍射物的距离比较小时的衍射。

1.3衍射现象及单缝衍射图样

让一个足够亮的点光源S 发出的光透过一个圆孔∑，照射到屏幕K 上，并且逐渐改

变圆孔的大小，就会发现：当圆孔足够大时，在屏幕上看到一个均匀光斑，光斑的大小就是圆孔的几何投影，随着圆孔逐渐减小，起初光斑也相应的变小，而后光斑开始模糊，并且在圆斑外面产生若干围绕圆斑的同心圆环，当使用单色光源时，是一组明暗相见的同心环带，当使用白色光源时，是一组色彩相间的彩色环带；此后再使圆孔变小，光斑及圆环不跟着变小，反而会增大起来。

单色红光衍射图样 白光衍射图样 1.4衍射的应用

光的衍射决定光学仪器的分辨本领；气体或液体中的大量悬浮粒子对光的散射，衍射也起重要的作用。衍射应用大致可以概括为以下四个方面：

1、 光谱分析：如衍射光栅光谱仪。

2、 结构分析:衍射图样对精细结构有一种相当敏感的“放大”作用, 故而利用图样

分析结构。如X 射线结构学。

3、 成像:在相干光成像系统中, 引进两次衍射成像概念，由此发展成为空间滤波技

术和光学信息处理。如光瞳衍射导出成像仪器的分辨本领。

4、 波阵面再现: 一种全新的两步无透镜成像法，也称为波阵面再现术，这是全息

术原理中的重要一步。

2. 衍射现象的发展过程

大约1818年前，一直没有人注意到有可能根据波动理论说明衍射效应。1818年，菲涅耳的著作问世。他在论文中证明，应用慧更斯作图法，结合干涉原理，能够解释衍射现象。 菲涅耳的分析后来由基而霍夫在1882年给出了完善的数学描述。

衍射问题是光学中遇到的最为困难的问题之一。在衍射理论中, 那种在某种意义上可以认为是严格的解，是很少有的。 直至1896年，才由索末菲给出了第一个解。他在一篇重要论文中讨论了一个完全导电的半无限平面屏对平面波的衍射。此后，对少数其它衍射问题(二维)也求得了严格解。

由于在数学上的困难，在大多数有实际意义情况下，必须采用近似方法。这些方法中惠更斯－菲涅耳理论是最富成效的，它适用于处理光学仪器中所遇到的大多数光学衍射问题。

二、单缝衍射原理

1. 惠更斯—菲涅耳原理

最早成功地用波动理论解释衍射现象的是菲涅耳，他将惠更斯原理用光的干涉理论加以补充，并予以发展。

惠更斯原理是描述波动传播过程的一个重要原理，其主要内容是：如图2-1所示的波源S ，在某一时刻所产生波的波阵面为∑，则∑面上的每一点都可以看作是一个次波源，它们

发出球面次波，其后某一时刻的波阵面∑＇即是该时刻这些球面次波的包络面，波阵面的法线面的法线方向就是该波的传播方向。惠更斯原理能够很好地解释光的直线传播，光的反射和折射方向，但不能说明衍射过程及其强度分布。

菲涅耳在研究了光的干涉现象后，考虑到次波来自于同一光源，应该相干，因而波阵面∑＇上每一点的光振动应该是在光源和该点之间任一波面上的各点发出的次波场叠加的结果。这就是惠更斯—菲涅耳原理。

利用惠更斯—菲涅耳原理可以解释衍射现象：在任意给定的时刻，任一波面上的点都起着次波波源的作用，它们各自发出球面次波，障碍物以外任意点上的光强分布，即是没有被阻挡的各个次波源发出的次波在该点相干叠加的结果。

根据惠更斯—菲涅耳原理，图2-2所示的一个单色光源S 对于空间任意点P 的作用，可以看作是S 和P 之间任一波面∑上各点发出的次波在P 点相干叠加的结果。假设波面Σ上任意点Q 的光场复振幅为E (Q ) ，在Q 点取一个面元d δ，则d δ面元上的次波源对P 点光场的贡献为：

~

式中，C 是比例系数；r

=，K (θ)称为倾斜因子，它是与元波面法线和的夹

角θ(称为衍射角)有关的量，按照菲涅耳的假设：当θ=0时，K 有最大值；随着θ的增大，K 迅速减小；当θ≥π/2时K ＝0。因此，途中波面∑上只有ZZ '范围内的部分对P 点光振动有贡献。所以P 点的光场复振幅为：

ikr

e (P )=C E (Q ) E K (θ)d σ ⎰⎰r ∑

这就是惠更斯－菲涅耳原理的数学表达式，称为惠更斯－菲涅耳公式。

当S 是点光源时，Q 点的光场复振幅为：

(Q )=A e ikR E

R

式中，R 是光源到Q 点的距离。在这种情况下，E (Q ) 可以从积分号中提出来，但是由于

~

(P )值。因此，从理论上来讲，这个K (θ)的具体形式未知，不可能由(2-1)式确切地确定E

原理是不够完善的。

2. 实现夫琅禾费衍射的几种方法

无论是在实验室中或者别的什么地方, 都不可能将光源和衍射场放在无限远，实际接收夫琅禾费衍射的装置有以下四种：

1. 焦面接收装置(以单缝衍射为例，下同)

把点光源S 放在凸透镜L 1的前焦平面上，在凸透镜L 2的后焦平面上接收衍射场，见图2-5。

图 2-5 焦面接收装置

图 2-6 远场接收装置

2、 远场接收装置

当满足远场条件时，狭缝前后也可以不用透镜，而直接获得夫琅禾费衍射图样。远场条

ρ2

件是：① 光源离狭缝很远，即R >>，其中，R 是光源到狭缝的距离，ρ为狭缝宽度的

λρ2

一半；② 接收场距狭缝足够远，即z >>，其中，z 为衍射场距狭缝的距离。观察点P

λρ2

在z >>的条件下，只要求其满足傍轴条件即可，而这一般都是满足的。图2-6为远场

λ

接收光路，假设一束平行光垂直入射到狭缝上。

3、象面接收装置(一)

衍射屏处于透镜的后方，如图2-7所示。S 在光轴上，∑代表点光源的象面，S '为S 的象点。理论上已经证明了∑面上呈现的图样为夫琅禾费衍射图样，即屏上任一点P θ的复振幅与角度θ的函数关系符合夫琅禾费衍射的积分形式。

图 2-8 象面接收装置(二)

4、象面接收装置(二)

'衍射屏处于透镜的前方，如图2-8所示。P θ点是场点P θ的共轭点，S 也在光轴上。如

果光路逆转自右向左，S '变为点光源，衍射屏便处于透镜的后方了，∑'面上的衍射图样就

同象面接收装置(一)∑面上的情况，z '相应地取代z ，所以实际呈现在图2-8的∑面上的衍射图样可由物面上设想的共轭衍射图样导出，二者为物象关系。

3. 夫琅禾费衍射光强强度的计算

现在我们用惠更新-菲涅耳原理来解释上述现象。如图2-13所示。为了清楚起见，图中狭缝的宽度BB 已经放大。平行光束垂直于缝的平面入射时，波面和缝平面重合(垂直于图面)。将缝的面积分为一组平行于缝长的窄带，从每一条这样的窄带发出次波。其振幅正比于窄带的宽度dx ，设光波的初位相为零，b 为缝BB 的宽度，A 0，而宽度dx 的窄条上

'

'

次波的振幅为A 0dx b ，则狭缝处各窄带所发次波的振动可用下式表示：

dE 0=

A 0dx

cos ωt b

这些次波都可认为是球面波，各自向前传播。现在，首先对其中沿图面与原入射方向成θ角(称为衍射角)的方向传播的所有各次波进行研究。在入射光束的平面波面BB’上各次波的位相都相等，通过透镜L 2后在焦平面FF 上的同一点P 处叠加。要计算P 点的合振幅，必须考虑到各次波的位相关系，这取决于由各窄带到P 点的光程如何。现在作平面BD 垂直于衍射方向B D ，根据BD 面上各点的位相分布情况即可决定在P 点相遇的各次波的位相关系。我们知道，从平面BD 上各点沿衍射方向通过透镜而达到P 点的光程都相等。这就只要算出从平面BB 到平面BD 的各平行直线段之间的光程差就可以了。MN 为沿着衍射角θ进行的任一条路程，令BM =x，则MN =x sin θ，这就是从M 和从B 两点所发次波沿平行于MN 方向到达平面BD 时的光程差。得BD 面上N 点的光振动的表达式为

' '

dE =

A 0dx 2πcos(x sin θ-ωt ) b λ

A 0dx i (2λπx sin θ-ωt )

dE =e

b 或

2πi x sin θA dx 0 =dE e λ

b 其复振幅为：

为简化计算起见，上式中假设各次波到达P 点时有相同的振幅(不考虑振幅与光程与反比的关系以及华侨因数)。根据惠更斯—菲涅耳原理，将上式对整个缝宽(从x=0到x=b)积分。最后可得沿着衍射角θ方向传播的所有次波在观察点P 叠加起来的合振幅：

sin(

A P =A 0

sin θλ

πb

sin θ)

令u =(πb sin θ) /λ，通常称(sinu ) /u 为u 的sin c 函数，并写成sin cu ，故P 点的光强为

I P =I 0sin c 2u

4. 夫琅禾费衍射图样的光强分布

当光屏放置在透镜L 2的焦平面上时，屏上出现衍射花样，光强的分布可由上式决定。不同的衍射角θ对应于光屏上不同的观察点。首先来决定衍射花样中光强最大值和最小值的位置。即求出满足光强的一阶导数为零的那些点：

d sin 2u 2sin u (u cos u -sin u )

(2) ==0du u u 3

由此得 sin u =0, u =tgu 分别解以上两式，可得出所有的极值点。 1、单缝衍射中央最大值的位置： 由sin u =0，解得满足u 0=(πb sin θ0即sin θ0=0 (中间最=0的一些衍射方向，

2

大值的位置) ，也就是在焦点P 0处，I p 0=A 0，光强为最大。这里，叠加的各个次波位相差为零，所以振幅叠加互相加强。

2、单缝衍射最小值的位置：

由sin u =0，解得满足u k =2π(b sin θk )

=2k π的一些衍射方向，即

sin θk =k

λ

b

(k =±1, ±2, ±3⋅⋅⋅)(最小值位置)

时，A P 为零，屏上这些点是暗的。

三、光强分布和条纹分布分析 1.基尔霍夫衍射公式的近似

对于一些极简单的衍射问题，也因为被积函数形式复杂而得不到解析形式的积分结果。为此，必须根据实际条件进一步做近似处理。

1.1 傍轴近似

在一般的光学系统中，对成像起主要作用的是那些与光学系统光轴夹角极小的傍轴光线。对于傍轴光线，如图3-3开孔的线度和观察屏上的考察范围都远小于开孔到观察屏的距离。因此，下面的两个近似条件都成立：

1、 cos (n , r )≈1, 于是K (θ)≈1； 2、 r ≈z 1。

于是，(3-11)可以化简为

i ~

E (P )=-

λz 1

会引起相位的很大变化。

~ikr ()E Q e d δ ⎰⎰

∑

指数中的r 未用z 1代替，这是因为指数中r 所影响的是次波场的相位，r 的微小变化都

1.2距离近似

根据衍射现象，离衍射孔不同距离处，衍射图样是不同的。一种是菲涅耳衍射或近场衍射，指的是光源和接收屏与衍射屏的距离均为有限远，或其中之一是有限远的情形；另一种是夫琅禾费衍射或远场衍射，指的是光源和接收屏与衍射屏的距离均为无限远的情形。

1、 菲涅耳近似 如图3-3所示，设QP =r ，则由几何关系有

r =

z 12+x -x 1+y -y 1=z 1

2

2

⎛x -x 1⎫⎛y -y 1⎫

⎪ + + z ⎪ z ⎪⎪1⎝1⎭⎝⎭

22

22222⎧⎫⎪1⎡(x -x 1)+(y -y 1)⎤1⎡(x -x 1)+(y -y 1)⎤⎪

=z 1⎨1+⎢-+⋅⋅⋅⎬⎥⎢⎥22

28z z 11⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭

因为在指数上的相位因子决定了函数的周期性，每当相位因子改变π时，指数函数反

号，这种变化是不可忽略的，相位因子中只有远小于π的项才可忽略。

于是，当z 1大到满足

k (x -x 1)+(y -y 8z 13

2

[

22

1max

)

]

时，上式第三项及以后的各项都可略去，即为

22

⎧x 2+y 2xx 1+yy 1x 12+y 12⎪1⎡(x -x 1)+(y -y 1)⎤⎫⎪r =z 1⎨1+⎢-+ ⎥⎬=z 1+2

22z z 2z z ⎪1111⎣⎦⎪⎩⎭

这一近似称为菲涅耳近似，在这个区域内观察到的衍射现象叫菲涅耳衍射。在菲涅耳近似下，P 点的光场复振幅为

⎡(x -x 1)2+(y -y 1)2⎤

ikz 1⎢1+⎥2

2z 1⎢⎥⎣⎦

E (x , y )=-

~

i

λz 1

~E ⎰⎰(x 1, y 1)e

∑

dx 1dy 1

2、夫琅禾费近似 当观察屏离孔的距离很大，满足

(x

k

21

+y 122z 1

)

max

x 2+y 2xx 1+yy 1

时 r =z 1+ -

2z 1z 1

这一近似称为夫琅禾费近似，在这个区域内观察到的衍射现象叫夫琅禾费衍射。在夫琅禾费近似下，P 点的光场复振幅为：

x 2+y 2

2z 1

ie ~

E (x , y )=-

ikz 1

λz 1

e

ik

-ik

~

⎰⎰E (x 1, y 1) e ∑

xx 1+yy 1

z 1

dx 1dy 1

2. 夫琅禾费单缝衍射光强分布

如果只考虑单色平行光垂直入射到开孔平面上的的夫琅禾费衍射，则通常采用图3-4所示的夫琅禾费衍射装置。

单色点光源放置在透镜的前焦平面上，所产生的平行光垂直入射开孔Σ，由开孔的衍射，在透镜L 2的后焦平面上可以观察到开孔Σ的夫琅禾费衍射图样，后焦平面上的各点的光场复振幅由(3-19)式给出。

图 3-4 夫琅禾费衍射装置

若开孔面上有均匀的光场分布，令E (x 1, y 1)=A =常数。又因为透镜贴近孔径，

~

z 1≈f 。所以后焦平面上的光场复振幅可为

iA ~

E (x , y )=C ⎰⎰e -ik (xx 1+yy 1)f dx 1dy 1 , C =-e

λf ∑

⎛x 2+y 2

ik f + 2f ⎝

⎫

⎪⎪⎭

对于夫琅禾费单缝衍射，水平缝宽为a, 垂直缝宽为b, 则b >>a ，沿y 方向的衍射效应不明显，只在x 方向有亮暗变化的衍射图样。由(3-20)式，衍射屏上P 点的光场复振幅为

a 2~

E (P )=C ⎰e -ikxx 1

-a 式中

~

E 0=Ca 是观察屏中心点P 0处光场复振幅。

2

⎛kxa ⎫ sin ikxx 1 2f ⎪⎪-a ⎛⎫Cf 2Cf kxa ~sin α ⎝⎭=E f f ⎪dx 1=-e =sin =Ca |0 2f ⎪-a

kxa ikx ikx α⎝⎭

2f

sin α⎫ 相应P 点的光强度为 I =I 0⎛ ⎪α⎝⎭

~2, α=kxa =πa ⋅x ≈(πa sin θλ, θ为衍射角。在衍射理论中，通常称式中，I 0=E 0

2f λf

(sin

2

α2)为单缝衍射因子，I 0为中央明纹中心处光强度，α为单缝边缘光线与中心光线

的相位差。

根据(3-22)式可的单缝衍射的光强分布特征：

1、 在中央P 点, θ=0 ,我们使α为一很小的趋于零的角, 对α求极限, 则

sin α

α

=1，

I =I 0，为中央主极大光强。

2、 在α=k π时(k =1、2⋅⋅⋅), 振幅A =A 0⋅

sin α

α

=0，光强I =0为暗纹的光强。

2

2⎡sin (3π2)⎤3、 当α=3π2时, 同理有I 1=A 0⋅⎢⎥=0. 047I 0为一级次极大光强。

⎣3π2⎦2⎡sin (5π2)⎤4、 当α=5π2时, 同理有I 2=A 0⎢⎥=0. 016I 0为二级次极大光强。

5π2⎣⎦2⎡sin (7π2)⎤I =A 5、 当α=7π2时, 同理有30⋅⎢⎥=0. 008I 0为三级次极大光强。 ⎣7π2⎦

22

3. 夫琅禾费单缝衍射光强分布

3.1光强分布的极值点

当光屏放置在透镜L 2的焦平面上时，屏上出现衍射花样，光强的分布可由(3-22)式决定，也就是说，衍射光场在P 点的强度大小主要由因子α或sin 2α射角θ对应于光屏上不同的观察点。

1、 当α=0或θ=0时，该点光强度取最大值：

I (P ) =I (P 0) =I m a ，称为主极大值； x

2、 当α=±k π或a sin θ=±k λ, (k =1, 2, 3⋅⋅⋅) 时，该点强度取极小值：

2决定。不同的衍

I (P ) =0=I min ；

3、 相邻两个极小值之间存在一个极大值，由于因子sin

总是小于主极大值，故称之为次极大值。 求出满足光强的一阶导数为零的那些点：

2

α2

⎛sin 2α⎫2sin α(αcos α-sin α) =0

3 α⎪⎪=α⎝⎭

解得 sin α=0, α=tan α

d d α

于是得到夫琅禾费单缝衍射的次极大值位置满足关系为：α=tan α。对于这一超越方程其根为

α=±1. 43π, ±2. 46π, ±3. 47π⋅⋅⋅

对应的sin θ值为

sin θ=±1. 43, ±2. 46, ±3. 47⋅⋅⋅

a a a

3.2 条纹的角宽度和线宽度 1. 暗纹的角宽度

λλλ