清华计算几何大作业思路分析和代码实现

1. 计算几何之缘

距离第一次接触计算几何到现在，不知不觉已经过去了一整年的时间，从一开始什么都不会，被DCEL折磨的死去活来，到现在基本还能玩转DCEL，这个过程真是既折磨又快乐，计算几何确实比较难，但是也是充满快乐的，借用邓俊辉老师在edX计算几何课程主页上面的一句话——体味几何之趣，领悟算法之美，可以完美诠释了笔者学习计算几何的感受，所以这里我给大家分享并整理一下清华x计算几何课程所涉及的10个大作业，以及它们的解题思路，可视化结果，以及我自己实现的代码，希望这些能让对计算几何有兴趣的童鞋根据自己的兴趣和学习进度，来选择合适的大作业。

所以整个系列的文章规划为如下章节：

1. 前置知识；
2. 作业列表；
3. 作业难度分析和食用建议；
4. 每个作业的具体分析（包括思路分析，可视化结果，代码和拓展等等）；

2. 前置知识

1. 编程：任意一种编程语言，但推荐强类型语言（如C++，Java），更加严谨；
2. 数据结构及算法：基础数据结构和算法即可（如链表，栈堆，图论等等，KMP，Internet Flow等非必须），但推荐掌握红黑树；
3. 数学：高中数学即可，只要不去证明算法的正确性和复杂度，高数线代非必须，但会者更佳；

3. 作业列表

作业配套视频课程：计算几何 | Computational Geometry

个人作业项目代码：Algorithm

题目	涉及的计算几何算法	难度系数
CG2017 PA1-1 Convex Hull (凸包)	Graham Scan	★
CG2017 PA1-2 Crossroad (十字路口)	线段求交, Bentley Ottmann	★★★
CG2017 PA2-1 Shortest Path in The Room (房间中的最短路径)	三角拆分	★★★★★
CG2017 PA2-2 Find Dancing Partners (寻找舞伴)	Voronoi Diagrams & Point Location	★★★★★
CG2017 PA3-1 Delaunay Triangulation （Delaunay三角剖分）	Delaunay三角剖分	★★★
CG2017 PA3-2 Which wall are you looking at （你在看哪面墙）	Point Location	★★★
CG2017 PA4-1 Planar Range Query （平面区域查询）	Kd-tree, Range tree, Fractional Cascading	★★★
CG2017 PA4-2 Orthogonal Windowing Query （正交矩形窗口查询）	Interval tree, Priority search tree, segment tree	★★★★
CG2017 PA5-1 Dynamic Convex Hull（动态凸包）	Graham Scan & 红黑树(BBST)	★★
CG2017 PA5-2 FruitNinja（水果忍者）	Duality, Linear Programming, Half-Plane intersection	★★★

※ 虽然这里最高难度只有5颗星，但是计算几何整体的难度比基础算法（比如链表，栈，图论等等）难一个档次，这还是把Degenerate Case（退化情况）排除的难度。如果需要考虑退化情况，那么整体的难度将会再上一个档次，而且部分作业还会引入额外的算法和要求，所以希望挑战计算几何算法的童鞋要有心理准备哒，不要尝试一次两次就趴下啦哒~
※ 本人提供的代码不保证绝对正确，也没有通过Online Judger，因为用的是Java编写且编译文件太多，基本都是编译超时，这里主要将自己的思路分享出来，如果你发现有任何问题，都可以随时联系我哒。

4. 作业难度分析和选取建议

根据上面的难度评估和笔者自己的经验，推荐使用如下顺序来“攻略”这10个计算几何难题！

4.1 初阶（新手村之旅）

1. CG2017 PA1-1 Convex Hull (凸包)
2. CG2017 PA5-1 Dynamic Convex Hull（动态凸包）
3. CG2017 PA1-2 Crossroad (十字路口)

如果第一次接触计算几何，推荐先用PA1-1 凸包练手，凸包算法非常简单，算法思路也不难理解，而且也不涉及其他复杂的数据结构，只要掌握基础数据结构和算法，就能顺利拿下这个作业，并且建立信心，也能初步了解计算几何以及一个非常重要的概念和方法：to Left Test；

再攻略基础凸包之后，推荐倒着先做PA5-1 动态凸包，这个作业用得还是之前的算法，只是需要自己实现BBST（笔者实现的是红黑树），通过这个题目，大家会掌握计算几何里面一个非常常用的数据结构：BBST，之后有不少算法都会用到，而且需要根据不同的算法进行魔改，比如线段求交，Voronoi Diagrams等等。

再完成上面两个作业之后，PA1-2就能让大家体会到曾经被计算几何支配的恐惧了哒~这个作业的难度会比之前凸包上升一个档次，并且算法也大量引入几何的空间关系，在理解上也是不小的挑战，而且里面会第一次需要自己魔改的BBST来实现里面所需的数据结构。所以第一次做这个作业大家可能会感觉非常沮丧，但不要放弃哒。

这个作业有两个特殊的地方：1）题目额外引入直线，射线和圆求交；2）退化情况极其折磨；所以建议大家先把注意力放在原本算法的实现上面，再去优先解决退化情况，最后再掌握算法的基础上，让算法能应对额外几种求交情况。

4.2 高阶（大师剑之旅）

1. CG2017 PA3-1 Delaunay Triangulation （Delaunay三角剖分）
2. CG2017 PA3-2 Which wall are you looking at （你在看哪面墙）
3. CG2017 PA4-1 Planar Range Query （平面区域查询）

再完成初阶的作业，大家应该对计算几何的概念都有一定的认识，那么接下来可以先做PA3-1。这个作业大家会初次了解计算几何里面一个特殊且重要的数据结构：DCEL，以及应用它来解决Delaunay三角拆分的问题。这题有两个难点：1）DCEL的理解和使用；2）无限点（p-1 & p-2）的引入和实现。

PA3-2 的Point Location算法是 PA2-2 其中一个基础算法，所以这里推荐先把这个作业做了，对问题逐个击破。另外，这题也有两个难点：1）Trapezoid数据结构的理解和实现；2）退化情况的处理（假想斜切）。

这个部分最后是PA4-1，这个作业大家会第一次接触空间区域查询，以及一些重要的空间查找数据结构（比如Kd-Tree），而且这里的算法也是后面PA4-2 的一个基础算法之一，所以先做这个作业比较合适。

4.3 终阶（折磨之旅）

1. CG2017 PA4-2 Orthogonal Windowing Query （正交矩形窗口查询）
2. CG2017 PA2-2 Find Dancing Partners (寻找舞伴)
3. CG2017 PA2-1 Shortest Path in The Room (房间中的最短路径)
4. CG2017 PA5-2 FruitNinja（水果忍者）

再完成前两个阶段的作业，如果还有兴趣的童鞋就可以来一起继续折磨啦哒~ 真正感受一下计算几何的恐怖之处！

因为之前已经实现了PA3-2平面区域查询算法（Range Tree），这里我们需要它来进一步实现正交矩形窗口查询算法，而且本题不需要使用BBST和DCEL，所以用来终结入门，是一个不错的选择。

接下来是PA2-2，这里涉及两个主要算法 ：Voronoi Diagrams 和 Point Location，后者我们在高阶已经实现过了，所以直接拿来用就是。但是！Voronoi Diagmras的算法比较难理解，而且实现起来更是非常复杂，还要结合两个算法去解决问题，所以想挑战的童鞋务必做好心理准备！

PA2-1 涉及的计算几何算法本来就有两个：单调多边形拆分和三角拆分，题目还附加了两个算法才能解决问题：对偶图和Funnnel Algorithm。因此要完成这个作业需要实现4个算法，工程量非常大，而且需要同时操作BBST和DCEL，实现难度还是异常复杂，和上面的PA2-2 都堪比一个算法项目啦。

最后一个PA5-2，其实这个题目综合下来没有上面几个难，只是这个题目涉及的算法，视频课程没有进行详解，需要大家自己去自学，而且如果追求Optimal Solution，这个题目数学浓度非常高哦（不排除有其他解法）。因而有兴趣的童鞋，也可以学完这个课程，先尝试这个题目再去做前面三个终阶的作业，这题灵活规划哒。

到这里，我们就把10个大作业给大家介绍了一遍，也给到了推荐的做题顺序，接下来我们正式进入到每个题目的思路讲解当中~

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下一节：清华计算几何大作业（一）：CG2017 PA1-1 Convex Hull (凸包)

系列汇总：清华计算几何大作业思路分析和代码实现

5. 参考资料

1. Computational Geometry: Algorithms and Applications
2. 计算几何 ⎯⎯ 算法与应用, 邓俊辉译，清华大学出版社
3. 计算几何 | Computational Geometry

6. 免责声明

※ 本文之中如有错误和不准确的地方，欢迎大家指正哒~
※ 此项目仅用于学习交流，请不要用于任何形式的商用用途，谢谢呢；

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