Hadamard积及其等式性质

定义

$m\times n$矩阵$\mathbf{A}=[a_{ij}]$与$m\times n$矩阵$\mathbf{B}=[b_{ij}]$的$Hadamard$积记作$\mathbf{A}\ast \mathbf{B}$，它仍然是一个$m\times n$的矩阵，其元素定义为两个矩阵对应元素的乘积$$(\mathbf{A}\ast \mathbf{B}{)}_{ij}=a_{ij}{b}_{ij}$$$Hadamard$积也称$Schur$积或者对应元素乘积。

$Hadamard$积满足交换律、结合律以及加法的分配率

$$\begin{array}{rl}\mathbf{A}\ast \mathbf{B}& =\mathbf{B}\ast \mathbf{A}\\ \mathbf{A}\ast (\mathbf{B}\ast \mathbf{C})& =(\mathbf{A}\ast \mathbf{B})\ast \mathbf{C}\\ \mathbf{A}\ast (\mathbf{B}\pm \mathbf{C})& =\mathbf{A}\ast \mathbf{B}\pm \mathbf{A}\ast \mathbf{C}\end{array}$$

$Hadamard$积的性质

1. 若$\mathbf{A},\mathbf{B}$均为$m\times n$矩阵，则$$(\mathbf{A}\ast \mathbf{B}{)}^{\mathrm{T}}={\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\ast {\mathbf{B}}^{\mathrm{T}},(\mathbf{A}\ast \mathbf{B}{)}^{\mathrm{H}}={\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}\ast {\mathbf{B}}^{\mathrm{H}},(\mathbf{A}\ast \mathbf{B}{)}^{\ast }={\mathbf{A}}^{\ast }\ast {\mathbf{B}}^{\ast }$$
2. 矩阵${\mathbf{A}}_{m\times n}$与零矩阵${\mathbf{O}}_{m\times n}$的 $Hadamard$积$\mathbf{A}\ast {\mathbf{O}}_{m\times n}={\mathbf{O}}_{m\times n}\ast \mathbf{A}={\mathbf{O}}_{m\times n}$。
3. 若$c$为常数，则$c(\mathbf{A}\ast \mathbf{B})=(c\mathbf{A})\ast \mathbf{B}=\mathbf{A}\ast (c\mathbf{B})$。
4. 正定（或半正定）的矩阵$\mathbf{A},\mathbf{B}$的$Hadamard$积$\mathbf{A}\ast \mathbf{B}$也是正定（或半正定）的。
5. 矩阵${\mathbf{A}}_{m\times m}=\left[a_{ij}\right]$与单位矩阵${\mathbf{I}}_m$的$Hadamard$积为$m\times m$对角矩阵，即$$\mathbf{A}\ast {\mathbf{I}}_m={\mathbf{I}}_m\ast \mathbf{A}=diag(\mathbf{A})=diag\left(a_{11},a_{22},\cdots ,a_{mm}\right)$$
6. 若$\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{D}$为$m\times m$矩阵，且$\mathbf{D}$为对角矩阵，则$$(\mathbf{D}\mathbf{A})\ast (\mathbf{B}\mathbf{D})=\mathbf{D}(\mathbf{A}\ast \mathbf{B})\mathbf{D}$$
7. 若$\mathbf{A},\mathbf{C}$是$m\times m$矩阵，并且$\mathbf{B},\mathbf{D}$为$n\times n$矩阵，则$$(\mathbf{A}\oplus \mathbf{B})\ast (\mathbf{C}\oplus \mathbf{D})=(\mathbf{A}\ast \mathbf{C})\oplus (\mathbf{B}\ast \mathbf{D})$$
8. 若$\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C},\mathbf{D}$均为$m\times n$矩阵，则$$(\mathbf{A}+\mathbf{B})\ast (\mathbf{C}+\mathbf{D})=\mathbf{A}\ast \mathbf{C}+\mathbf{A}\ast \mathbf{D}+\mathbf{B}\ast \mathbf{C}+\mathbf{B}\ast \mathbf{D}$$
9. 若$\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}$为$m\times n$矩阵，则$$tr\left({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}(\mathbf{B}\ast \mathbf{C})\right)=tr\left(\left({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\ast {\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\right)\mathbf{C}\right)$$