正则化(1) L1和L2正则化

正则化（Regularization）

参考：
https://blog.csdn.net/jinping_shi/article/details/52433975
https://blog.csdn.net/u012162613/article/details/44261657

1. 正则化的概念

规则化 vs 正则化
- 规则化，顾名思义，给你的模型加入某些规则，来达到某些目的（在机器学习或深度学习中是为了防止过拟合）
- 正则化，与规则化是同一个意思。

正则项一般加在损失函数后面，英文是 l1 l 1 -norm和 l2 l 2 -norm，中文称作L1正则化和L2正则化，或者L1范数和L2范数。

2. L1范数和L2范数

• L1范数： ||ω||1 | | ω | | 1 ，指权值向量 ω ω 中各个元素的绝对值之和
• L2范数： ||ω||2 | | ω | | 2 ，指权值向量 ω ω 中各个元素的平方和然后再求平方根

3. 线性回归的正则化

• 线性回归+L1正则项：Lasso回归
• 线性回归+L2正则项：Ridge回归（岭回归）

4. L1和L2正则化的作用

• L1正则化可以产生稀疏权值矩阵，即产生一个稀疏模型，可以用于特征选择。
• L2正则化可以防止模型过拟合。（一定程度上，L1也可以防止过拟合）。

L1正则化-特征选择

1. 稀疏模型与特征选择

L1正则化有助于生成一个稀疏权值矩阵，进而可以用于特征选择。那么，为什么要生成一个稀疏矩阵？

稀疏矩阵指的是很多元素为0，只有少数元素是非零值的矩阵，即得到的线性回归模型的大部分系数都是0. 通常机器学习中特征数量很多，例如文本处理时，如果将一个词组（term）作为一个特征，那么特征数量会达到上万个（bigram）。在预测或分类时，那么多特征显然难以选择，但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型，表示只有少数特征对这个模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的，或者贡献微小（因为它们前面的系数是0或者是很小的值，即使去掉对模型也没有什么影响），此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这就是稀疏模型与特征选择的关系。

举个栗子，患病回归模型 y=ω1x1+ω2x2+...+ω1000x1000+b y = ω 1 x 1 + ω 2 x 2 + . . . + ω 1000 x 1000 + b ，通过学习，最后学习到的 ω ω 就只有很少几个非零元素，例如只有5个非零的 ωi ω i 。也就是说，患不患这种病只和这5个因素有关，那医生就好分析多了。

2. L1正则化的图形理解

参考机器学习中正则化项L1和L2的直观理解
假设有如下带L1正则化的损失函数：

J=J0+α∑w|w|(1) (1) J = J 0 + α ∑ w | w |

其中 J0 J 0 是原始的损失函数，加号后面的一项是L1正则化项， α α 是 正则化系数。注意到L1正则化是权值的绝对值之和，J是带有绝对值符号的函数，因此J是不完全可微的。机器学习的任务就是要通过一些方法（比如梯度下降）求出损失函数的最小值。当我们在原始损失函数 J0 J 0 后添加L1正则化项时，相当于对 J0 J 0 做了一个约束。

令

L=α∑ω|ω| L = α ∑ ω | ω |

则

J=J0+L J = J 0 + L

此时我们的任务变成在L约束下求出 J0 J 0 取最小值的解。

考虑二维的情况，即只有两个权值 w1 w 1 和 w2 w 2 ，此时 L=|w1|+|w2| L = | w 1 | + | w 2 | ，对于梯度下降法，求解 J0 J 0 的过程可以画出等值线，同时L1正则化的函数L
也可以在 w1w2 w 1 w 2 的二维平面上画出来。如下图：

图1 L1正则化

图中等值线是 J0 J 0 的等值线，黑色方形是L函数的图形(也就是约束条件)。在图中，当 J0 J 0 等值线与L图形首次相交的地方就是最优解。上图中 J0 J 0 与L在L的一个顶点处相交，这个顶点就是最优解。注意到这个顶点的值是 (w1,w2)=(0,w) ( w 1 , w 2 ) = ( 0 , w ) 。可以直观想象，因为L函数有很多『突出的角』（二维情况下四个，多维情况下更多）， J0 J 0 与这些角接触的机率会远大于与L其它部位接触的机率，而在这些角上，会有很多权值等于0，这就是为什么L1正则化可以产生稀疏模型，进而可以用于特征选择。

而正则化前面的系数 α α ，可以控制L图形的大小。 α α 越小，L的图形越大（上图中的黑色方框）； α α 越大，L的图形就越小，可以小到黑色方框只超出原点范围一点点，这时最优点的值 (w1,w2)=(0,w) ( w 1 , w 2 ) = ( 0 , w ) 中的 ω ω 可以取到很小的值。也就是说，L1正则化在一定程度上可以防止过拟合（下文有说明 ω ω 值小就可以防止过拟合的原因）。

3. L1正则化的公式推导

参考正则化方法：L1和L2 regularization、数据集扩增、dropout
将

J=J0+α∑ω|ω| J = J 0 + α ∑ ω | ω |

写成：

C=C0+λn∑ω|ω| C = C 0 + λ n ∑ ω | ω |

（即：J用C表示， α α 用 λn λ n 表示）
计算导数：

∂C∂ω=∂C0∂ω+λnsgn(ω) ∂ C ∂ ω = ∂ C 0 ∂ ω + λ n s g n ( ω )

上式中 sgn(ω) s g n ( ω ) 表示 ω ω 的符号。那么权重 ω ω 的更新规则为：

ω→ω′=ω−η∂C∂ω=ω−η(∂C0∂ω+λnsgn(ω))=ω−η∂C0∂ω−ηλnsgn(ω) ω → ω ′ = ω − η ∂ C ∂ ω = ω − η ( ∂ C 0 ∂ ω + λ n s g n ( ω ) ) = ω − η ∂ C 0 ∂ ω − η λ n s g n ( ω )

比原始的更新规则多出了 ηλnsgn(ω) η λ n s g n ( ω ) 这一项。当 ω ω 为正时，更新后的 ω ω 变小。当 ω ω 为负时，更新后的 ω ω 变大——因此它的效果就是让 ω ω 往0靠，使网络中的权重尽可能为0，也就相当于减小了网络复杂度，防止过拟合。

另外，上面没有提到一个问题，当 ω ω 为0时怎么办？当 ω ω 等于0时， |ω| | ω | 是不可导的，所以我们只能按照原始的未经正则化的方法去更新 ω ω ，这就相当于去掉 ηλnsgn(ω) η λ n s g n ( ω ) 这一项，所以我们可以规定sgn(0)=0，这样就把 ω ω =0的情况也统一进来了。（在编程的时候，令sgn(0)=0,sgn( ω ω >0)=1,sgn( ω ω <0)=-1）

L2正则化-防止过拟合

1. L2正则化的图形理解

假设有如下带L2正则化的损失函数：

J=J0+α∑ww2(2) (2) J = J 0 + α ∑ w w 2

同样可以画出他们在二维平面上的图形，如下：

图2 L2正则化

二维平面下L2正则化的函数图形是个圆，与方形相比，被磨去了棱角。因此 J0 J 0 与L相交时使得 w1 w 1 或 w2 w 2 等于零的机率小了许多，这就是为什么L2正则化不具有稀疏性的原因。

2. 抗扰动能力强——参数很小

损失函数分为经验风险损失函数和结构风险损失函数。经验风险损失函数指预测结果和实际结果的差别，结构风险损失函数是指经验风险损失函数加上正则项。通常将一般形式的损失函数（参考机器学习总结（一）：常见的损失函数）表示为如下：

θ∗=argmin1N∑i=1NL(yi,f(xi;θi))+λΦ(θ)(1) (1) θ ∗ = a r g m i n 1 N ∑ i = 1 N L ( y i , f ( x i ; θ i ) ) + λ Φ ( θ )

我们既要让训练误差（上式第一项）最小，又要让模型尽可能简单（上式第二项）。于是我们有个朴素的想法：那就让权重 ω ω （在上式中为 θ θ ）多几个为0（或者接近于0，说明该节点影响很小）就好了，相当于在神经网络中删掉一些节点，这样模型就变得简单了。

拟合过程中通常都倾向于让权值尽可能小，最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为 参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。可以设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果造成很大的影响；但如果参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响，专业一点的说法是『 抗扰动能力强』。

3. L2正则化可以获得值很小的参数

以线性回归中的梯度下降法为例。假设要求的参数为 θ θ ， hθ(x) h θ ( x ) 是我们的假设函数，那么线性回归的代价函数如下：

J(θ)=12m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))2(3) (3) J ( θ ) = 1 2 m ∑ i = 1 m ( h θ ( x ( i ) ) − y ( i ) ) 2

那么在梯度下降法中，最终用于迭代计算参数 θ θ 的迭代式为：

θj:=θj−α1m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))x(i)j(4) (4) θ j := θ j − α 1 m ∑ i = 1 m ( h θ ( x ( i ) ) − y ( i ) ) x j ( i )

（上式在 logistic回归损失函数与梯度下降中有介绍）
其中 α α 是learning rate. 上式是没有添加L2正则化项的迭代公式，如果在原始代价函数之后添加L2正则化，则迭代公式会变成下面的样子：

θj:=θj(1−αλm)−α1m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))x(i)j(5) (5) θ j := θ j ( 1 − α λ m ) − α 1 m ∑ i = 1 m ( h θ ( x ( i ) ) − y ( i ) ) x j ( i )

其中 λ λ 就是 正则化参数。
从上式可以看到，与未添加L2正则化的迭代公式相比，每一次迭代， θj θ j 都要先乘以一个小于1的因子，从而使得 θj θ j 不断减小，因此总得来看， θ θ 是不断减小的。因此L2正则化可以使模型简单，防止过拟合。

最开始也提到L1正则化一定程度上也可以防止过拟合。之前做了解释，当L1的正则化系数很小时，得到的最优解会很小，可以达到和L2正则化类似的效果。

4. L2正则化权重衰减的公式推导

将

J=J0+α∑ww2(2) (2) J = J 0 + α ∑ w w 2

写成

C=C0+λ2n∑ωω2 C = C 0 + λ 2 n ∑ ω ω 2

（即：J用C表示， α α 用 λ2n λ 2 n 表示，为了后面求导的结果方便。）
计算导数：

∂C∂ω=∂C0∂ω+λnω ∂ C ∂ ω = ∂ C 0 ∂ ω + λ n ω

ω→ω′=ω−η∂C∂ω=ω−η(∂C0∂ω+λnω)=ω−η∂C0∂ω−ηλnω=(1−ηλn)ω−η∂C0∂ω ω → ω ′ = ω − η ∂ C ∂ ω = ω − η ( ∂ C 0 ∂ ω + λ n ω ) = ω − η ∂ C 0 ∂ ω − η λ n ω = ( 1 − η λ n ) ω − η ∂ C 0 ∂ ω

在不使用L2正则化时，求导结果中 ω ω 前系数为1，现在 ω ω 前面系数为 1−ηλn 1 − η λ n ，因为η、λ、n都是正的，所以 1−ηλn 1 − η λ n 小于1，它的效果是减小 ω ω ，这也就是 权重衰减（weight decay）的由来。当然考虑到后面的导数项， ω ω 最终的值可能增大也可能减小。

到目前为止，我们只是解释了L2正则化项有让 ω ω “变小”的效果，但是还没解释为什么 ω ω “变小”可以防止overfitting？一个所谓“显而易见”的解释就是：更小的权值 ω ω ，从某种意义上说，表示网络的复杂度更低，对数据的拟合刚刚好（这个法则也叫做奥卡姆剃刀），而在实际应用中，也验证了这一点，L2正则化的效果往往好于未经正则化的效果。