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求解数学物理方程的计算机方法

数学物理建模与计算机辅助设计 第4章 求解数学物理方程的计算机方法 本章内容 §4.1 特殊函数的绘制 Gamma函数的绘制 连带勒让德函数的绘制 球函数的图形的绘制 几种贝塞尔函数图形的绘制 §4.2 数学物理方程的计算机求解方法 对解析解进行编程求解 利用PDE工具箱求解数学物理方程 利用差分法求解数学物理方程 Matlab的特殊函数 help matlab\specfun airy- Airy functions. besselj- Bessel function of the first kind. bessely- Bessel function of the second kind. besselh- Bessel functions of the third kind Hankel function . besseli- Modified Bessel function of the first kind. besselk- Modified Bessel function of the second kind. beta- Beta function. betainc- Incomplete beta function. betaln- Logarithm of beta function. ellipj- Jacobi elliptic functions. ellipke- Complete elliptic integral. Matlab的特殊函数 erf- Error function. erfc- Complementary error function. erfcx- Scaled complementary error function. erfinv- Inverse error function. expint- Exponential integral function. gamma- Gamma function. gammainc- Incomplete gamma function. gammaln- Logarithm of gamma function. psi- Psi polygamma function. legendre- Associated Legendre function. cross- Vector cross product. dot- Vector dot product. Γ函数 Gamma函数 定义 基本性质 拓展后函数在除z 0，-1，-2，…之外各点解析 Γ函数 Gamma函数 Γ函数绘制 gamma x x -3:0.01:3; y gamma x ; plot x,y,'linewidth',4 ; grid on axis [-3 3 -5 5] 思考题：如何绘制复变函数Γ z 的图形？ 勒让德 Legendre 函数 问题来由：分离变量法求解拉普拉斯方程 分离变量可得欧拉型常微分方程和球谐函数方程 勒让德 Legendre 函数 进一步对球谐函数分离变量 可得到关于函数Θ的常微分方程 此方程称作l阶连带勒让德方程。 特别地：如果球谐函数具有旋转对称性，则解与方位角无关，则m 0，此时方程称作l阶勒让德方程。 勒让德 Legendre 函数 作变量代换把写成更为熟悉的形式 这里有 勒让德 Legendre 函数 l阶勒让德方程的解为 l阶连带勒让德方程的解为 勒让德 Legendre 函数 Matlab计算勒让德函数指令 legendre N,x 结果为所有N阶连带勒让德函数的值 例： legendre 2,0.0:0.1:0.2 -0.5000 -0.4850 -0.4400 0 -0.2985 -0.5879 3.0000 2.9700 2.8800 勒让德 Legendre 函数 绘制前6个勒让德多项式的图像 p20_1.m x 0:0.01:1; y1 legendre 1,x ; y2 legendre 2,x ; y3 legendre 3,x ; y4 legendre 4,x ; y5 legendre 5,x ; y6 legendre 6,x ; plot x,y1 1,: , x,y2 1,: , x,y3 1,: , x,y4 1,: , x,y5 1,: , x,y6 1,: title '勒让德多项式' 勒让德 Legendre 函数 绘制以俯仰角为变量的勒让德函数 例：在极坐标下绘制下列勒让德函数的图形 p22_1.m