Maximum Noise Fraction（MNF）算法理解

Maximum Noise Fraction（MNF）介绍

  最大噪声比率$MNF$(Maximum Noise Fraction)¹变换方法，也是一种常用的高光谱图像数据特征提取方法。MNF方法根据图像质量排列成份，图像质量的衡量标准是噪声分数，也就是MNF中的NF。
$$NF=\frac{a^T{S}_{N}a}{a^{T}Sa}$$
  在上式中，$a$是变换矩阵，$S_N$是噪声的协方差矩阵，$S$是原始数据的协方差矩阵。

  其中，$a^T{S}_{N}a$ 和 $a^{T}Sa$，分别是噪声协方差矩阵对应的其特征值对角矩阵（$a^T{S}_{N}a$），和原始数据协方差矩阵对应的特征值对角矩阵（$a^{T}Sa$）。如下所示：
$$a^{T}Sa=\left\{\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right\}$$

$$a^T{S}_{N}a=\left\{\begin{array}{cccc}{\lambda }_{N1}& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_{N2}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_{Nn}\end{array}\right\}$$

  当在对数据样本矩阵进行特征分解的时候，如果对应特征矩阵选择的是单位正交基时，则这里每一行的特征值就是该遥感图像，相应波段图像的方差（如：第$k$个波段的方差${\sigma }_{kk}^2$，就等于该波段图像特征值${\lambda }_k$，${\sigma }_{kk}^2={\lambda }_k$），特征值从大到小，从上往下排列。
$$NF=\frac{a^T{S}_{N}a}{a^{T}Sa}=(a^T{S}_{N}a)\cdot (a^{T}Sa{)}^{-1}$$
$$\therefore (a^T{S}_{N}a)\cdot (a^{T}Sa{)}^{-1}=\left\{\begin{array}{cccc}{\lambda }_{N1}& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_{N2}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_{Nn}\end{array}\right\}\cdot \left\{\begin{array}{cccc}\frac{1}{{\lambda }_1}& 0& \cdots & 0\\ 0& \frac{1}{{\lambda }_2}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & \frac{1}{{\lambda }_n}\end{array}\right\}$$
$$\therefore NF=\left\{\begin{array}{cccc}\frac{{\lambda }_{N1}}{{\lambda }_1}& 0& \cdots & 0\\ 0& \frac{{\lambda }_{N2}}{{\lambda }_2}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & \frac{{\lambda }_{Nn}}{{\lambda }_n}\end{array}\right\}$$

  所以，由上可知$MNF$(Maximum Noise Fraction)方法,就是在$NF$噪声比率矩阵中，选出$k$个最大噪声比率特征值（$\frac{{\lambda }_{N_k}}{{\lambda }_k}$）对应的波段图像（$1\le k\le n$），保证所选出的k个波段（通道）没有使原始遥感图像失去大部分的信息即可。

  $MNF$变换方法，有效地解决了当某噪声方差大于信号方差或噪声在图像各波段分布不均匀时，基于方差最大化的主成分分析并不能保证图像质量随着主成分的增大而降低的问题。²

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1. 论文《A Joint Band Prioritization and Band Decorrelation Approach to Band Selection for Hyperspectral Image Classification》中出现的一个算法。 ↩︎

2. 参考自: https://m.sohu.com/a/232930328_466840/?pvid=000115_3w_a. ↩︎