最优控制学习笔记2----泛函

泛函

泛函定义

对于某一类函数集合$\{x(t)\}$ 中的每一个函数 $x(t)$, 在映射关系 $J$ 下均有一个确定的数与之对应，则称 $J$ 为依赖于函数 $x(t)$ 的泛函，记作$$J=J[x(.)]=J[x(t)]$$
注：泛函与函数的区别

泛函即为以函数为自变量的一种映射到实数域的映射关系。而函数则是以某一实数为自变量映射到实数域的映射关系。这里的$J[x(t)]$可理解为整条曲线 $x(t)$ 在映射关系 $J$ 下对应一个实数值。下面来解释一下泛函的自变量，如下图：

假设从[0,1]位置我们丢掷一个物体，该物体分别沿 $f(x)$, $h(x)$, $g(x)$ 三条轨道下落，同样都可降落至 [1,0]。那么我们可以将这个下落的过程称为一个泛函，三条下落的轨道曲线称为这个泛函的自变量，即泛函定义中的函数集合为 $\{f(x),h(x),g(x)\}$，这个物体的高度位置即为映射关系 $J$，确定的数为高度0。

泛函的变分

自变量的变分

• 宗量：若函数 $x(t)$ 是映射关系 $J$ 的自变量函数，则称 $x(t)$ 为泛函 $J[x(t)]$ 的宗量函数。
• 宗量的变分：宗量的变分是指在同一函数类中的两个宗量函数间的差，即：$$\delta x(t)=x(t)-x^{\ast }(t).$$

泛函相近

• 零阶相近
  当宗量的变分 $\delta x(t)$ 的绝对值对于 $x(t)$ 定义域中的一切 $t$ 都很小时，称函数 $x(t)$ 与 $x^{\ast }(t)$ 是接近的，也称为零阶相近。
• 一阶相近
  当宗量的变分 $\delta x(t)$ 的绝对值以及 $\delta x(t)$ 的一阶导数的绝对值对于 $x(t)$ 定义域中的一切 $t$ 都很小，则称函数 $x(t)$ 与 $x^{\ast }(t)$ 是一阶相近的。
• K阶相近
  当 $|x(t)-x^{\ast }(t)|$, $|\dot{x}(t)-{\dot{x}}^{\ast }(t)|$, $\dots$, $|x^{(k)}(t)-x^{\ast (k)}(t)|$ 对一切 $t$ 都很小时， 称函数 $x(t)$ 与 $x^{\ast }(t)$ 是 $k$ 阶相近的。

泛函距离

• 零阶距离
  在连续函数全体组成的函数空间 $C[a,b]$中，泛函自变量的距离可定义为$$d[x(t),x^{\ast }(t)]=\underset{a\le t\le b}{\max }\{x(t)-x^{\ast }(t)\}$$
• $k$ 阶距离
  由在区间$[a,b]$上连续且具有连续的 $k$ 阶导数的函数的全体构成的函数空间 $C^k[a,b]$ 中，任意两个函数间的$k$阶距离定义为$$d[x(t),x^{\ast }(t)]=\underset{a\le t\le b}{\max }\{|x(t)-x^{\ast }(t)|,|\dot{x}(t)-{\dot{x}}^{\ast }(t)|,\dots ,|x^{(k)}(t)-x^{\ast (k)}(t)|\}$$

泛函的连续性

对于任意给定的正数 $\epsilon$, 总可以找到一个正数 $\delta$, 使得当 $$d(x,x^{\ast })<\delta$$ 时， 有 $$|J[x(t)]-J[x^{\ast }(t)]|<\epsilon$$ 则称泛函 $J[x(t)]$ 在 $x^{\ast }(t)$ 处是连续的。其中， $d(x,x^{\ast })=\underset{a\le t\le b}{\max }|x(t)-x^{\ast }(t)|$。根据所采用的泛函自变量之间的距离的定义方式的不同，可分别定义泛函的零阶连续以及 $k$ 阶连续泛函。
Lemma 1: 如果函数 $F(t)$ 在区间 $[t_0,t_f]$ 上是连续的， 而且对于只满足某些一般条件的任意选定的函数 $\eta (t)$ 有 ${\int }_{t_0}^{t_f}F(t)\eta (t)dt=0$, 则在区间 $[t_0,t_f]$ 上有 $F(t)=0$。

线性泛函

连续泛函 $J[x(t)]$ 如果满足如下两个条件：$$J[x_1(t)+x_2(t)]=J[x_1(t)]+J[x_2(t)]$$$$J[Cx(t)]=CJ[x(t)]$$其中 $C$ 为常数， 则 $J[x(t)]$ 为线性泛函。

泛函的变分

• 泛函的增量
  由自变量函数 $x(t)$ 的变分 $\delta x(t)$ 引起泛函 $J[x(t)]$ 的增量 $$\Delta J=J[x^{\ast }(t)+\delta x(t)]-J[x^{\ast }(t)]$$ 为泛函 $J[x(t)]$ 的增量。
• 泛函的变分
  当宗量函数 $x(t)$ 有变分时，泛函 $J[x(t)]$ 的增量 $\Delta J[x(t)]$ 可表示为$$\Delta J=J[x^{\ast }(t)+\delta x(t)]-J[x(t)]=\frac{dJ}{dx}{|}_{x^{\ast }}\delta x+\frac{1}{2}\frac{d^{2}J}{d{x}^2}{|}_{x^{\ast }}(\delta x{)}^2+R,$$ 其中$\Delta J$ 的线性部分称为泛函的变分，记作 $\delta J$，即 $$\delta J=\frac{dJ}{dx}{|}_{x^{\ast }}\delta x，$$换句话说即为泛函的变分是泛函增量的线性主部。

Lemma 2: 泛函的变分 $\delta J=\frac{\partial }{\partial \alpha }J[x(t)+\alpha \delta x(t)]{|}_{\alpha =0}$

Example 1: 计算泛函 $J={\int }_0^1{x}^2(t)dt$ 的变分。
$$\begin{array}{rl}\delta J& =\frac{\partial }{\partial \alpha }J[x(t)+\alpha \delta x(t)]{|}_{\alpha =0}\\ & =\frac{\partial }{\partial \alpha }{\int }_0^1[x(t)+\alpha \delta x(t){]}^{2}dt{|}_{\alpha =0}\\ & ={\int }_0^{1}2[x(t)+\alpha \delta x(t)]\delta x(t)dt{|}_{\alpha =0}\\ & ={\int }_0^{1}2x(t)\delta x(t)dt\end{array}$$

泛函的极值

泛函极值的定义

如果泛函 $J[x(t)]$ 在 $x(t)=x^{\ast }(t)$ 的邻域内，其增量$$\Delta J=J[x(t)-x^{\ast }(t)]=J[x(t)]-J[x^{\ast }(t)]\ge 0$$ 或 $$\Delta J=J[x(t)-x^{\ast }(t)]=J[x(t)]-J[x^{\ast }(t)]\le 0$$ 则称泛函 $J[x(t)]$ 在 $x(t)=x^{\ast }(t)$ 有极小值或极大值。

泛函的极值

• 强极值：如果 $J[x^{\ast }(t)]$ 是在与 $x(t)$ 仅仅具有零阶接近度的曲线 $x(t)$ 的泛函中比较得出的极值，称为强极值。
• 弱极值：如果 $J[x^{\ast }(t)]$ 是在与 $x(t)$ 具有一阶或一阶以上接近度的曲线 $x(t)$ 的泛函中比较得出的极值，称为弱极值。

泛函极值条件

• 必要条件
  若可微泛函 $J[x(t)]$ 在曲线 $x(t)=x^{\ast }(t)$ 达到极值，则泛函 $J[x(t)]$ 在 $x(t)=x^{\ast }(t)$ 上的变分等于零，即 $\delta J[x^{\ast }(t)]=0$。
  证明：对于任意给定的 $\delta x(t)$ 来说， $J[x^{\ast }(t)+\alpha \delta x(t)]$ 是实变量 $\alpha$ 的函数。泛函 $J[x(t)]$ 在 $x^{\ast }(t)$ 达到极值，即函数 $J[x^{\ast }(t)+\alpha \delta x(t)]$ 在 $\alpha =0$ 时达到极值，所以它的导数在 $\alpha =0$ 时应为零，即$$\frac{\partial }{\partial \alpha }J[x^{\ast }(t)+\alpha \delta x(t)]{|}_{\alpha =0}=0$$ 由变分引理可知 $\frac{\partial }{\partial \alpha }J[x^{\ast }(t)+\alpha \delta x(t)]{|}_{\alpha =0}=\delta J[x^{\ast }(t)]=0$。得证。
• 充要条件
  设可微泛函 $J(x)$ 存在二次变分， 则在 $x=x^{\ast }$ 处达到极小值的充要条件为：$$\delta J(x^{\ast })=0,{\delta }^{2}J(x^{\ast })>0.$$ 同理，设可微泛函 $J(x)$ 存在二次变分，则在 $x=x^{\ast }$ 处存在极大值的充要条件为：$$\delta J(x^{\ast })=0,{\delta }^{2}J(x^{\ast })<0.$$