文章目录
- 泛函
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- 泛函定义
- 泛函的变分
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- 自变量的变分
- 泛函相近
- 泛函距离
- 泛函的连续性
- 线性泛函
- 泛函的变分
- 泛函的极值
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泛函
泛函定义
对于某一类函数集合 { x ( t ) } \{x(t)\} {x(t)} 中的每一个函数 x ( t ) x(t) x(t), 在映射关系 J J J 下均有一个确定的数与之对应,则称 J J J 为依赖于函数 x ( t ) x(t) x(t) 的泛函,记作 J = J [ x ( . ) ] = J [ x ( t ) ] J=J[x(.)]=J[x(t)] J=J[x(.)]=J[x(t)]
注:泛函与函数的区别

泛函即为以函数为自变量的一种映射到实数域的映射关系。而函数则是以某一实数为自变量映射到实数域的映射关系。这里的 J [ x ( t ) ] J[x(t)] J[x(t)]可理解为整条曲线 x ( t ) x(t) x(t) 在映射关系 J J J 下对应一个实数值。下面来解释一下泛函的自变量,如下图:

假设从[0,1]位置我们丢掷一个物体,该物体分别沿 f ( x ) f(x) f(x), h ( x ) h(x) h(x), g ( x ) g(x) g(x) 三条轨道下落,同样都可降落至 [1,0]。那么我们可以将这个下落的过程称为一个泛函,三条下落的轨道曲线称为这个泛函的自变量,即泛函定义中的函数集合为 { f ( x ) , h ( x ) , g ( x ) } \{f(x),h(x),g(x)\} {f(x),h(x),g(x)},这个物体的高度位置即为映射关系 J J J,确定的数为高度0。
泛函的变分
自变量的变分
- 宗量:若函数 x ( t ) x(t) x(t) 是映射关系 J J J 的自变量函数,则称 x ( t ) x(t) x(t) 为泛函 J [ x ( t ) ] J[x(t)] J[x(t)] 的宗量函数。
- 宗量的变分:宗量的变分是指在同一函数类中的两个宗量函数间的差,即: δ x ( t ) = x ( t ) − x ∗ ( t ) . \delta x(t)=x(t)-x^*(t). δx(t)=x(t)−x∗(t).
泛函相近
- 零阶相近
当宗量的变分 δ x ( t ) \delta x(t) δx(t) 的绝对值对于 x ( t ) x(t) x(t) 定义域中的一切 t t t 都很小时,称函数 x ( t ) x(t) x(t) 与 x ∗ ( t ) x^*(t) x∗(t) 是接近的,也称为零阶相近。
- 一阶相近
当宗量的变分 δ x ( t ) \delta x(t) δx(t) 的绝对值以及 δ x ( t ) \delta x(t) δx(t) 的一阶导数的绝对值对于 x ( t ) x(t) x(t) 定义域中的一切 t t t 都很小,则称函数 x ( t ) x(t) x(t) 与 x ∗ ( t ) x^*(t) x∗(t) 是一阶相近的。
- K阶相近
当 ∣ x ( t ) − x ∗ ( t ) ∣ |x(t)-x^*(t)| ∣x(t)−x∗(t)∣, ∣ x ˙ ( t ) − x ˙ ∗ ( t ) ∣ |\dot{x}(t)-\dot{x}^*(t)| ∣x˙(t)−x˙∗(t)∣, … \ldots …, ∣ x ( k ) ( t ) − x ∗ ( k ) ( t ) ∣ |x^{(k)}(t)-x^{*(k)}(t)| ∣x(k)(t)−x∗(k)(t)∣ 对一切 t t t 都很小时, 称函数 x ( t ) x(t) x(t) 与 x ∗ ( t ) x^*(t) x∗(t) 是 k k k 阶相近的。
泛函距离
- 零阶距离
在连续函数全体组成的函数空间 C [ a , b ] C[a,b] C[a,b]中,泛函自变量的距离可定义为 d [ x ( t ) , x ∗ ( t ) ] = max a ≤ t ≤ b { x ( t ) − x ∗ ( t ) } d[x(t),x^*(t)]=\displaystyle \max_{a\leq t\leq b}\{x(t)-x^*(t)\} d[x(t),x∗(t)]=a≤t≤bmax{x(t)−x∗(t)}
- k k k 阶距离
由在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续且具有连续的 k k k 阶导数的函数的全体构成的函数空间 C k [ a , b ] C^{k}[a,b] Ck[a,b] 中,任意两个函数间的 k k k阶距离定义为 d [ x ( t ) , x ∗ ( t ) ] = max a ≤ t ≤ b { ∣ x ( t ) − x ∗ ( t ) ∣ , ∣ x ˙ ( t ) − x ˙ ∗ ( t ) ∣ , … , ∣ x ( k ) ( t ) − x ∗ ( k ) ( t ) ∣ } d[x(t),x^*(t)]=\displaystyle \max_{a\leq t\leq b}\{|x(t)-x^*(t)|,|\dot{x}(t)-\dot{x}^*(t)|,\ldots,|x^{(k)}(t)-x^{*(k)}(t)|\} d[x(t),x∗(t)]=a≤t≤bmax{∣x(t)−x∗(t)∣,∣x˙(t)−x˙∗(t)∣,…,∣x(k)(t)−x∗(k)(t)∣}
泛函的连续性
对于任意给定的正数 ε \varepsilon ε, 总可以找到一个正数 δ \delta δ, 使得当 d ( x , x ∗ ) < δ d(x, x^*)<\delta d(x,x∗)<δ 时, 有 ∣ J [ x ( t ) ] − J [ x ∗ ( t ) ] ∣ < ε |J[x(t)]-J[x^*(t)]|<\varepsilon ∣J[x(t)]−J[x∗(t)]∣<ε 则称泛函 J [ x ( t ) ] J[x(t)] J[x(t)] 在 x ∗ ( t ) x^*(t) x∗(t) 处是连续的。其中, d ( x , x ∗ ) = max a ≤ t ≤ b ∣ x ( t ) − x ∗ ( t ) ∣ d(x, x^*)=\displaystyle \max_{a\leq t \leq b}|x(t)-x^*(t)| d(x,x∗)=a≤t≤bmax∣x(t)−x∗(t)∣。根据所采用的泛函自变量之间的距离的定义方式的不同,可分别定义泛函的零阶连续以及 k k k 阶连续泛函。
Lemma 1: 如果函数 F ( t ) F(t) F(t) 在区间 [ t 0 , t f ] [t_0, t_f] [t0,tf] 上是连续的, 而且对于只满足某些一般条件的任意选定的函数 η ( t ) \eta(t) η(t) 有 ∫ t 0 t f F ( t ) η ( t ) d t = 0 \displaystyle\int_{t_0}^{t_f}F(t)\eta(t)dt=0 ∫t0tfF(t)η(t)dt=0, 则在区间 [ t 0 , t f ] [t_0, t_f] [t0,tf] 上有 F ( t ) = 0 F(t)=0 F(t)=0。
线性泛函
连续泛函 J [ x ( t ) ] J[x(t)] J[x(t)] 如果满足如下两个条件: J [ x 1 ( t ) + x 2 ( t ) ] = J [ x 1 ( t ) ] + J [ x 2 ( t ) ] J[x_1(t)+x_2(t)]=J[x_1(t)]+J[x_2(t)] J[x1(t)+x2(t)]=J[x1(t)]+J[x2(t)] J [ C x ( t ) ] = C J [ x ( t ) ] J[Cx(t)]=CJ[x(t)] J[Cx(t)]=CJ[x(t)]其中 C C C 为常数, 则 J [ x ( t ) ] J[x(t)] J[x(t)] 为线性泛函。
泛函的变分
- 泛函的增量
由自变量函数 x ( t ) x(t) x(t) 的变分 δ x ( t ) \delta x(t) δx(t) 引起泛函 J [ x ( t ) ] J[x(t)] J[x(t)] 的增量 Δ J = J [ x ∗ ( t ) + δ x ( t ) ] − J [ x ∗ ( t ) ] \Delta J=J[x^*(t)+\delta x(t)]-J[x^*(t)] ΔJ=J[x∗(t)+δx(t)]−J[x∗(t)] 为泛函 J [ x ( t ) ] J[x(t)] J[x(t)] 的增量。
- 泛函的变分
当宗量函数 x ( t ) x(t) x(t) 有变分时,泛函 J [ x ( t ) ] J[x(t)] J[x(t)] 的增量 Δ J [ x ( t ) ] \Delta J[x(t)] ΔJ[x(t)] 可表示为 Δ J = J [ x ∗ ( t ) + δ x ( t ) ] − J [ x ( t ) ] = d J d x ∣ x ∗ δ x + 1 2 d 2 J d x 2 ∣ x ∗ ( δ x ) 2 + R , \Delta J=J[x^*(t)+\delta x(t)]-J[x(t)]=\frac{dJ}{dx}|_{x^*}\delta x+\frac{1}{2}\frac{d^2J}{dx^2}|_{x^*}(\delta x)^2+R, ΔJ=J[x∗(t)+δx(t)]−J[x(t)]=dxdJ∣x∗δx+21dx2d2J∣x∗(δx)2+R, 其中 Δ J \Delta J ΔJ 的线性部分称为泛函的变分,记作 δ J \delta J δJ,即 δ J = d J d x ∣ x ∗ δ x , \delta J=\frac{dJ}{dx}|_{x^*}\delta x, δJ=dxdJ∣x∗δx,换句话说即为泛函的变分是泛函增量的线性主部。
Lemma 2: 泛函的变分 δ J = ∂ ∂ α J [ x ( t ) + α δ x ( t ) ] ∣ α = 0 \delta J=\frac{\partial}{\partial \alpha}J[x(t)+\alpha \delta x(t)]|_{\alpha=0} δJ=∂α∂J[x(t)+αδx(t)]∣α=0
Example 1: 计算泛函 J = ∫ 0 1 x 2 ( t ) d t J=\displaystyle \int_0^1x^2(t)dt J=∫01x2(t)dt 的变分。
δ J = ∂ ∂ α J [ x ( t ) + α δ x ( t ) ] ∣ α = 0 = ∂ ∂ α ∫ 0 1 [ x ( t ) + α δ x ( t ) ] 2 d t ∣ α = 0 = ∫ 0 1 2 [ x ( t ) + α δ x ( t ) ] δ x ( t ) d t ∣ α = 0 = ∫ 0 1 2 x ( t ) δ x ( t ) d t \begin{aligned} \delta J&=\frac{\partial}{\partial \alpha}J[x(t)+\alpha\delta x(t)]|_{\alpha=0}\\ &=\frac{\partial}{\partial \alpha}\displaystyle\int_0^1[x(t)+\alpha\delta x(t)]^2dt|_{\alpha=0}\\ &=\displaystyle\int_0^12[x(t)+\alpha \delta x(t)]\delta x(t)dt|_{\alpha=0}\\ &=\displaystyle\int_0^12x(t)\delta x(t)dt \end{aligned} δJ=∂α∂J[x(t)+αδx(t)]∣α=0=∂α∂∫01[x(t)+αδx(t)]2dt∣α=0=∫012[x(t)+αδx(t)]δx(t)dt∣α=0=∫012x(t)δx(t)dt
泛函的极值
泛函极值的定义
如果泛函 J [ x ( t ) ] J[x(t)] J[x(t)] 在 x ( t ) = x ∗ ( t ) x(t)=x^*(t) x(t)=x∗(t) 的邻域内,其增量 Δ J = J [ x ( t ) − x ∗ ( t ) ] = J [ x ( t ) ] − J [ x ∗ ( t ) ] ≥ 0 \Delta J=J[x(t)-x^*(t)]=J[x(t)]-J[x^*(t)]\geq 0 ΔJ=J[x(t)−x∗(t)]=J[x(t)]−J[x∗(t)]≥0 或 Δ J = J [ x ( t ) − x ∗ ( t ) ] = J [ x ( t ) ] − J [ x ∗ ( t ) ] ≤ 0 \Delta J=J[x(t)-x^*(t)]=J[x(t)]-J[x^*(t)]\leq 0 ΔJ=J[x(t)−x∗(t)]=J[x(t)]−J[x∗(t)]≤0 则称泛函 J [ x ( t ) ] J[x(t)] J[x(t)] 在 x ( t ) = x ∗ ( t ) x(t)=x^*(t) x(t)=x∗(t) 有极小值或极大值。
泛函的极值
- 强极值:如果 J [ x ∗ ( t ) ] J[x^*(t)] J[x∗(t)] 是在与 x ( t ) x(t) x(t) 仅仅具有零阶接近度的曲线 x ( t ) x(t) x(t) 的泛函中比较得出的极值,称为强极值。
- 弱极值:如果 J [ x ∗ ( t ) ] J[x^*(t)] J[x∗(t)] 是在与 x ( t ) x(t) x(t) 具有一阶或一阶以上接近度的曲线 x ( t ) x(t) x(t) 的泛函中比较得出的极值,称为弱极值。
泛函极值条件
- 必要条件
若可微泛函 J [ x ( t ) ] J[x(t)] J[x(t)] 在曲线 x ( t ) = x ∗ ( t ) x(t)=x^*(t) x(t)=x∗(t) 达到极值,则泛函 J [ x ( t ) ] J[x(t)] J[x(t)] 在 x ( t ) = x ∗ ( t ) x(t)=x^*(t) x(t)=x∗(t) 上的变分等于零,即 δ J [ x ∗ ( t ) ] = 0 \delta J[x^*(t)]=0 δJ[x∗(t)]=0。
证明:对于任意给定的 δ x ( t ) \delta x(t) δx(t) 来说, J [ x ∗ ( t ) + α δ x ( t ) ] J[x^*(t)+\alpha \delta x(t)] J[x∗(t)+αδx(t)] 是实变量 α \alpha α 的函数。泛函 J [ x ( t ) ] J[x(t)] J[x(t)] 在 x ∗ ( t ) x^*(t) x∗(t) 达到极值,即函数 J [ x ∗ ( t ) + α δ x ( t ) ] J[x^*(t)+\alpha \delta x(t)] J[x∗(t)+αδx(t)] 在 α = 0 \alpha=0 α=0 时达到极值,所以它的导数在 α = 0 \alpha=0 α=0 时应为零,即 ∂ ∂ α J [ x ∗ ( t ) + α δ x ( t ) ] ∣ α = 0 = 0 \frac{\partial}{\partial\alpha}J[x^*(t)+\alpha\delta x(t)]|_{\alpha=0}=0 ∂α∂J[x∗(t)+αδx(t)]∣α=0=0 由变分引理可知 ∂ ∂ α J [ x ∗ ( t ) + α δ x ( t ) ] ∣ α = 0 = δ J [ x ∗ ( t ) ] = 0 \frac{\partial}{\partial\alpha}J[x^*(t)+\alpha\delta x(t)]|_{\alpha=0}=\delta J[x^*(t)]=0 ∂α∂J[x∗(t)+αδx(t)]∣α=0=δJ[x∗(t)]=0。得证。
- 充要条件
设可微泛函 J ( x ) J(x) J(x) 存在二次变分, 则在 x = x ∗ x=x^* x=x∗ 处达到极小值的充要条件为: δ J ( x ∗ ) = 0 , δ 2 J ( x ∗ ) > 0. \delta J(x^*)=0,\delta^2J(x^*)>0. δJ(x∗)=0,δ2J(x∗)>0. 同理,设可微泛函 J ( x ) J(x) J(x) 存在二次变分,则在 x = x ∗ x=x^* x=x∗ 处存在极大值的充要条件为: δ J ( x ∗ ) = 0 , δ 2 J ( x ∗ ) < 0. \delta J(x^*)=0,\delta^2J(x^*)<0. δJ(x∗)=0,δ2J(x∗)<0.