高数--猴博士爱讲课

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重点章节：

导数/微分/积分

梯度

泰勒展开公式

第一课 求极限

求极限-函数

$$\begin{gathered} 例一：试求{\lim }_{x->3}(x^2+3)=3^2+2=12 \\ 例二：试求{\lim }_{x->0}sinx=sin0=0 \end{gathered}$$

常见的求导

∞/∞型

0/0型

1^∞型

记住这个公式即可。

x^y=(e^lnx)^y

0·∞型

将其转换为0/0或者∞/∞型

左右极限

$$试证明{\lim }_{x->0}\frac{1}{x}是否存在$$

做题步骤:
①求函数的左极限

②求函数的右极限
③若左极限=右极限=不为oo的数,则函数极限存在，且函数极限=左极限=右极限;

若为其他情况,则函数极限不存在/函数没有极限

$$\begin{gathered} {\lim }_{x->0^{-}}\frac{1}{x}=-\infty ， \\ {\lim }_{x->0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty \\ 所以极限不存在 \end{gathered}$$

已知f’(X0)=?，求某极限

根据导数的定义，记住两个公式：

求极限-数列

1/3 分析a_n的取值范围

2/3 证明a_n的极限存在

3/3 夹逼定理

第二课《连续、间断点》

函数连续不连续是要看区间的

1/3 证明f(x)在某点连续

$$例一：试证明f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{sinx}{x},x>0\\ 1,x\le 0\end{array}在x=0处连续$$

做题步骤：

$$\begin{gathered} ①f(0)=1 \\ {\lim }_{x->0^{-}}f(x)={\lim }_{x->0^{-}}1=1， \\ {\lim }_{x->0^{+}}f(x)={\lim }_{x->0^{+}}\frac{sinx}{x}={\lim }_{x->0^{+}}\frac{x}{x}={\lim }_{x->0^{+}}1=1 \\ ②\because f（0）={\lim }_{x->0^{-}}f(x)={\lim }_{x->0^{+}}f(x)成立 \\ \therefore f(x)在x=0处连续 \end{gathered}$$

2/3 已知f(x)在某点连续,求未知数

$$例二：若函数f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{sinx}{ax},x>0\\ 1,x\le 0\end{array}在x=0处连续,试求a$$

做题步骤

$$\begin{gathered} ①f(0)=1 \\ {\lim }_{x->0^{-}}f(x)={\lim }_{x->0^{-}}1=1， \\ {\lim }_{x->0^{+}}f(x)={\lim }_{x->0^{+}}\frac{sinx}{ax}={\lim }_{x->0^{+}}\frac{x}{ax}={\lim }_{x->0^{+}}\frac{1}{a}=\frac{1}{a} \\ ②\because f(x)在x=0处连续,所以f（0）={\lim }_{x->0^{-}}f(x)={\lim }_{x->0^{+}}f(x)成立 \\ \therefore a=1 \end{gathered}$$

3/3 间断点

$$例三：试判断f(x)=\{\begin{array}{l}-1,x<1\\ x,x\ge 1\end{array}的间断点类型$$

第一类：左右极限存在，这个点可以定义一个x让fx连续就是可去间断点，如果不可以那就是跳跃间断点。

第二类：像是1/x这个函数，x=0就是无穷间断点；fx不为0但是sin或cos后的数为0就是震荡间断点

看看有没有不为∞的值,能使sin、cos后面的式子为∞，且系数不为0。若有,这个点可直接命名为震荡间断点或第二类间断点(震荡)

间断点的概念

$$\begin{gathered} 若y=f(x)在x=x_0处出现如下三种情况之一，则称x_0为y=f(x)的间断点: \\ (1)y=f(x)在点x_0处无定义 \\ (2)y=f(x)在点x_0处有定义，但{\lim }_{x->x_0}f(x)不存在 \\ (3)y=f(x)在点x_0处有定义，但{\lim }_{x->x_0}f(x)存在，但{\lim }_{x->x_0}f(x)\ne f(x_0) \\ 据此，我们可以对间断点进行分类 \end{gathered}$$

据此，我们可以对间断点进行分类

做题步骤

第三课《求导》

1/5 照公式求导

常见的求导

2/5 隐函数求导

$$例1.若y=y(x)由y^3-x^2+y=0确定，则y^{\prime }{=}_{，}{y}^{\prime \prime }{=}_{。}$$

求y’'同理上面的步骤对y’求导

3/5 参数方程求导

$$例三：设\{\begin{array}{l}x=1+t^2\\ y=cost\end{array},则y^{\prime }{=}_{，}{y}^{\prime \prime }{=}_{。}$$

参数方程求导公式

4/5 求极值、最值

$$例3.若y=y(x)由y^3一x^2+y=0确定,试求其极值,以及x\in [0,1]时的最值$$

做题步骤

【知识点回忆】

y’'>0说明在这个点的一阶导数有从0开始增大的趋势，也就是说函数有增加的趋势【函数图像凹】

5/5 求凹凸区间与拐点

$$例4.求曲线y=ln(x^2+1)的凹凸区间和拐点$$

方法:求y"
凸区间:满足y"<0的区间

凹区间:满足y">0的区间

拐点:凹凸区间交界的点

第四课《微分中值定理和导数的应用》

1/3 用罗尔中值定理证明等式

2/3 用拉格朗日中值定理证明关于f(x2)-f(x1)/[x2-x1]的不等式

3/3 求极值与最值

$$求函数f(x)=4x^3-12x^2+9x的极大值、极小值及在[0,1.5]内的最大值$$

$$\begin{gathered} 有一块边长为3的正方形铁片，在每一个角上各剪去一个边长为x的小正方形， \\ 用剩下的部分做成开口盒子，当剪去小正方形的边长x为多大时，盒子的容积最大? \end{gathered}$$

第五课上《积分-不定积分》

1/6 直接套公式算不定积分

$$\begin{gathered} ⑧\int tanxdx=\int \frac{sinx}{cosx}dx=\int \frac{1}{cosx}d(-cosx)=-ln|cosx|+C \\ ⑨\int cotxdx=\int \frac{1}{tanx}dx=\int \frac{cosx}{sinx}dx=\int \frac{1}{sinx}d(sinx)=ln|sinx|+C \\ (tanx{)}^{‘}=se{c}^{2}x,ta{n}^{2}x+1=se{c}^{2}x \\ [十七]\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\int \frac{dx}{a^2(1+(x/a){)}^2}=\int \frac{d(x/a)}{a(1+(x/a){)}^2}=\frac{1}{a}arctan(\frac{x}{a})+C \\ [十六]\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\int \frac{dx}{a\sqrt{1-(x/a{)}^2}}=\int \frac{d(x/a)}{\sqrt{1-(x/a{)}^2}}=arcsin(x/a)+C \\ [二十]令x=atanx和x=asecx \\ 【具体参考张宇基础30讲P110】 \end{gathered}$$

2/6 设一部分再算的不定积分

换元法

【补充：凑微分法】

3/6 多项相加的不定积分

4/6 两项相乘的不定积分

$$【具体参考张宇基础30讲P112】$$

5/6 sin、cos相乘的不定积分

$$cos2x=co{s}^{2}x-si{n}^{2}x=2co{s}^{2}x-1=1-2si{n}^{2}x$$

6/6 x²加减常数项的不定积分

第五课下《积分-定积分》

1/3 定积分计算

牛顿-莱布尼茨公式

2/3 用定积分求面积

3/3 用定积分求体积

第六课上《微分方程(上)》

1/5 符合y’ + P(x)y =Q(x)的格式，求通解

$$\begin{gathered} 已知微分方程y^{\prime }+xy=3x，求通解。 \\ 已知微分方程y^{\prime }+y=3x，求通解。 \end{gathered}$$

2/5 可将x、y拆到等号两边的题目，求通解

变量可分离型

3/5 有复合部分的题目，求通解

可化为变量可分离型

4/5 含y 、y’、y"、不含x的题目,求通解

二阶可降阶微分方程的求解==【缺X型】==

二阶常系数齐次线性微分方程的通解

5/5 含y 、y’、y"、也含x的题目,求通解

二阶常系数齐次线性微分方程的通解==【二阶齐次通解】==

二阶常系数非齐次线性微分方程的特解==【二阶非齐次特解】==

【二阶非齐次通解例题】

利用性质

重点补充

泰勒展开公式

一、定义:

​ 相比e* ,sin x,cos x, ln(1+x)这些函数，人们对幂函数更为熟悉，如果能把函数近似表达成多项式，并且函数和多项式之间的误差也可以表示，那么在求极限，不等式或其他题目中可能会使形式变得简单，容易计算。

泰勒公式一句话描述：就是**用多项式函数去逼近光滑函数**。

泰勒公式，也称泰勒展开式。是用一个函数在某点的信息，描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下，泰勒公式可以利用这些导数值来做系数，构建一个多项式近似函数，求得在这一点的邻域中的值

$$来自于张宇基础30讲P87$$

二、重要函数的泰勒公式

三、用处

①利用泰勒公式求极限

②常用的等价无穷小

梯度

参考资源：https://www.bilibili.com/video/BV1uZ4y1L7bB/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=de55588165743d85bbfd39eae0d9c152

1、方向导数

偏导数

①定义

②计算

③例题

2、梯度

​ 在一个数量场中，函数在给定点处沿不同的方向，其方向导数一般是不相同的，现在我们所关心的是沿哪一个方向其方向导数最大？最大值是多少？函数在点P沿哪一方向增加的速度最快？为此引进一个很重要的概念一一梯度