边缘检测——sobel索伯算子 数学原理和应用

索伯算子（sobel operator）常用于边缘检测，在粗精度下，是最常用的边缘检测算子，以广泛应用几十年。sobel算子由两个3X3的卷积核构成，分别用于计算中心像素邻域的灰度加权差。分为垂直方向和水平方向的索伯滤波器Gx and
Gy。

sobel 算子的用途主要为:

边缘检测时: Gx用于检测纵向边缘, Gy用于检测横向边缘.
计算法线时: Gx用于计算法线的横向偏移, Gy用于计算法线的纵向偏移.

sobel算子应用时进行给定图像的卷积操作，卷积为计算图像大矩阵周围像素和滤波器矩阵对应位置元素的乘积, 然后把结果相加到一起, 最终得到的值就作为该像素的新值, 这样就完成了一次
卷积，之后继续移动卷积核，直到把大矩阵每个位置都运算完毕，因为相邻像素卷积结果一般具有相似输出，会产生大量冗余信息，一般为减少输出值会进行求取最大小值或者平均值的池化操作。

经sobel算子处理的图像（图像来源于网路，侵删）

值得注意的是，一般卷积操作会伴随卷积核的翻转，而sobel却不需要翻转，因为绕中心点旋转180°，并不影响结果。

sobel算子的卷积核的值是如何确定的呢？其实并不是经验数值，而是具有严格的数学推导，大部分教科书停留在对算子的直观解释上，一般描述为隔行或隔列的差分运算，然后做中心像素位置的2倍加权。实际上，并不是现行教科书上描述的简单的隔行/列的差分运算，中心像素位置也并未参与运算。目前流传的说法中以科学网 彭真明老师提出的曼哈顿距离表述的推导更为准确。

以下对这一过程进行简单推导：

对中心像素Z5求取多个方向的灰度差分，对于Z5的8个邻域，分为4个方向，即对角线和水平垂直4个方向对： (z1, z9) ，(z2, z8)， (z3, z7)， (z6, z4)。

定义一个给定邻域方向梯度矢量g的幅度为

|g| = <像素灰度差分>/<相邻像素的距离>

这里特别注意的是，距离为曼哈顿距离，而非欧氏距离（欧氏距离将推导出Frei和Chen（1991）提出的边缘检测器，见附图3）
由曼哈顿距离得出，相邻对角线像素的距离为2，水平与垂直距离为1，即在中心像素周围邻域像素的对角线距离为4，垂直水平距离为2，带入上述梯度矢量g计算公式求平均梯度矢量有：

G = {(z3-z7)/4 * [1, 1]+ (z1-z9)/4 * [-1, 1]+ (z2-z8)/2 * [0, 1]+ (z6-z4)/2 * [1, 0] }/4

式中, 4个单位向量 [1, 1]，[-1, 1]，[0, 1], [1, 0] 控制差分的方向.

上式展开后，有

G = [(z3- z7- z1+ z9)/4 + (z6-z4)/2, (z3- z7+ z1- z9)/4 + (z2-z8)/2] /4

为保留低位字节和加速运算，去除分母，即扩大16倍。

这样，计算公式变为：

G’ = 16*G

= [z3 - z7- z1+ z9 + 2*( z6 - z4), z3 - z7 + z1- z9 + 2*( z2-z8)]

= [z3 + 2z6 + z9 - z1 - 2z4-z7, z1 + 2z2 + z3 - z7 - 2z8 - z9]

按x-y方向，可分别写成：

G’x = (z3 + 2z6 + z9) - (z1 + 2z4 + z7)

G’y = (z1 + 2z2 + z3) - (z7 + 2z8 + z9)

由上式可得sobel垂直水平卷积核。
附图3：

参考：
http://blog.sciencenet.cn/blog-425437-1139187.html
https://baike.baidu.com/item/索伯算子/22735660?fr=aladdin
https://www.cnblogs.com/freeblues/p/5738987.html
https://www.zhihu.com/question/49376084