多目标优化算法：基于非支配排序的瞪羚优化算法（Non-Dominated Sorting Gazelle Optimization Algorithm，NSGOA）

瞪羚优化算法（Gazelle Optimization Algorithm，GOA）由Agushaka等人于2022年提出，该算法模拟了瞪羚逃避捕食者的行为，思路新颖，性能高效。
瞪羚的身高60-110厘米，体重13-29千克。该属物种有像小鹿一样的浅棕色皮毛，身体的下部一般是白色的。然而，有些个体在背部和腹部的相邻部分有一个长长的黑色标记。雄性瞪羚有长而弯曲的角。瞪羚体质强壮，是非常敏捷的动物；脚上有4趾，但侧趾比鹿类更加退化，有适合长跑的腿，适于奔跑。可以以每小时50公里的速度持续奔跑。

瞪羚一般生活在沙漠和半沙漠、干旱的草原、树木繁茂的稀树草原、灌木丛生的草原、丘陵和浅林中。瞪羚是高度社会化的动物，所有的瞪羚都是群居的。一些群有多达700名成员，尽管一些瞪羚群很小并且按性别隔离。例如，雌性和年轻的幼羚生活在一起，还生活在10-30只雌性的群中。雄性单独生活或自己组群与其他雄性一起生活。雄性族群被称为单身汉族群。在迁徙过程中，雌雄混群，在交配季节，畜群的隔离更为突出，但只要有繁殖机会，它们就会被领地雄性分开。
瞪羚优化算法包含全局搜索，局部搜索和瞪羚逃生三个阶段：

一、种群随机初始化

$$\text{ Elite }=\left[\begin{array}{lllll}{x}_{1,1}^{\prime }& x_{1,2}^{\prime }& \cdots & x_{1,d-1}^{\prime }& x_{1,d}^{\prime }\\ x_{2,1}^{\prime }& x_{2,2}^{\prime }& \cdots & x_{2,d-1}^{\prime }& x_{2,d}^{\prime }\\ ⋮& ⋮& x_{i,j}^{\prime }& ⋮& ⋮\\ x_{n,1}^{\prime }& x_{n,2}^{\prime }& \cdots & x_{n,d-1}^{\prime }& x_{n,d}^{\prime }\end{array}\right]$$
其中，$x_{i,j}=\mathrm{rand}\times \left({\mathrm{UB}}_j-{\mathrm{LB}}_j\right)+{\mathrm{LB}}_j$
瞪羚优化算法中涉及布朗运动及莱维飞行：

1.1布朗运动

布朗运动是悬浮微粒被分子撞击后做无规则运动。布朗运动是将看起来连成一片的液体，在高倍显微镜下看其实是由许许多多分子组成的。液体分子不停地做无规则的运动，不断地随机撞击悬浮微粒。当悬浮的微粒足够小的时候，由于受到的来自各个方向的液体分子的撞击作用是不平衡的。在某一瞬间，微粒在另一个方向受到的撞击作用超强的时候，致使微粒又向其它方向运动，这样就引起了微粒的无规则的运动，即布朗运动。布朗运动满足正态（高斯）概率分布函数：
$$f_B(x;\mu ,\sigma )=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \left(-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{x^2}{2}\right)$$

1.2莱维飞行

莱维飞行以法国数学家保罗·莱维命名，指的是步长的概率分布为重尾分布的随机行走，也就是说在随机行走的过程中有相对较高的概率出现大跨步。与步长分布没有重尾的随机行走相比，莱维飞行的运动轨迹就像时不时可以飞行一样，故名。当随机行走的空间维数高于一维时，莱维飞行通常还要求步长分布是各向同性的。
$$L\left(x_j\right)\approx {\left|x_j\right|}^{1-\alpha }$$
$$f_L(x;\alpha ,\gamma )=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\infty }\exp \left(-\gamma q^{\alpha }\right)\cos (\mathrm{qx})\delta q$$
$$\mathrm{Levy}(\alpha )=0.05\times \frac{x}{|y{|}^{\frac{1}{\alpha }}}$$
其中，${\sigma }_x={\left[\frac{\Gamma (1+\alpha )\sin \left(\frac{\pi \alpha }{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{(1+\alpha )}{2}\right)\alpha 2^{\frac{(\alpha -1)}{2}}}\right]}^{1/\alpha }，{\sigma }_y=1,\alpha =1.5，x=\mathrm{Normal}\left(0,{\sigma }_x^2\right)，y=\mathrm{Normal}\left(0,{\sigma }_y^2\right)$

二、全局搜索

该阶段模拟瞪羚在没有捕食者或者捕食者跟踪情形下的自由放牧，瞪羚采取布朗运动，其位置更新如下：

$${\text{ gazelle }}_{i+1}={\text{ gazelle }}_i+S.R\ast .R_B\ast ({\text{ Elite }}_i-R_B\ast {\text{ gazelle }}_i)$$
其中，S表示瞪羚的移动速度，$R_B$表示基于布朗运动的随机向量，R是在取值为0~1之间的随数。

三、局部搜索

该阶段模拟瞪羚发现捕食者后的逃跑行为，分为两个阶段，并且每个阶段都依据迭代次数的奇偶性而采取两种相反运动。第一阶段：瞪羚在发现捕食者前期采取莱维飞行；第二阶段：瞪羚在发现捕食者后期采取布朗运动。

3.1第一阶段

瞪羚在发现捕食者的前期采取莱维飞行：
$${\text{ gazelle }}_{i+1}={\text{ gazelle }}_i+S\cdot \mu \cdot R\ast \cdot R_L\ast \text{. }\left({\text{ Elite }}_i-R_L\ast {\text{ gazelle }}_i\right)$$
其中，$\mu$为-1或1，表示两种运动方向；$R_L$表示基于 Lévy 分布的随机数向量。

3.2第二阶段

瞪羚在发现捕食者的后期采取布朗运动：
$${\text{ gazelle }}_{i+1}={\text{ gazelle }}_i+S\cdot \mu \cdot CF\ast .R_B\ast \left({\text{ Elite }}_i-R_L\ast \cdot {\text{ gazelle }}_i\right)$$
其中，$CF={\left(1-\frac{iter}{\text{ Maxiter }}\right)}^{\left(2\frac{\text{ iter }}{\text{ Maxiter }}\right)}$表示捕食者的累积效应。

四、瞪羚逃生

瞪羚面对捕食者时的存活率为0.66，这意味着捕食者有34%的机会狩猎成功，用PSRs表示捕食者的狩猎成功率，并以此对瞪羚逃生过程建立数学模型：
$${\text{ gazelle }}_{i+1}=\{\begin{array}{ll}{\text{ gazelle }}_i+CF[LB+R\ast .(UB-LB)]\ast .U& \text{ if }r\le PSRs\\ {\text{ gazelle }}_i+[PSRs(1-r)+r]\left({\text{ gazell }}_{r_1}-{\text{ gazelle }}_{r_2}\right)& \text{ else }\end{array}$$
其中，r为0~1之间的随机数。

五、GOA算法描述

五、GOA算法流程

六、基于非支配排序的瞪羚优化算法

基于非支配排序的瞪羚优化算法（Non-Dominated Sorting Gazelle Optimization Algorithm，NSGOA）由瞪羚优化算法与非支配排序策略结合而成。将NSGOA用于求解46个多目标测试函数（ZDT1、ZDT2、ZDT3、ZDT4、ZDT6、DTLZ1-DTLZ7、WFG1-WFG10、UF1-UF10、CF1-CF10、Kursawe、Poloni、Viennet2、Viennet3）以及个工程应用（盘式制动器设计）,并采用IGD、GD、HV、SP进行评价。
部分结果如下：
ZDT1

ZDT2

ZDT3

ZDT4

ZDT6

盘式制动器设计：

七、完整代码

代码链接：https://pan.baidu.com/s/1D_KzId8FQHRr02aQQ8hRNg
提取码：9xm5

参考文献：Agushaka, J.O., Ezugwu, A.E. & Abualigah, L. Gazelle optimization algorithm: a novel nature-inspired metaheuristic optimizer. Neural Comput & Applic (2022). https://doi.org/10.1007/s00521-022-07854-6