以后轴为中心的车辆底盘位姿解算

汽车底盘的运动学模型分为两类：

• 以后轴为中心的车辆运动学模型
• 以质心为中心的车辆运动学模型

本文主要介绍以后轴为中心的车辆运动学模型。即将机体坐标系原点设置在后轴中心，假设只存在前轮偏角，推导以后轴为原点的运动学模型。

如图，

• XY坐标系为惯性坐标系， X 轴正向为东，Y 轴正向为北；
• xy坐标系为车体坐标系, x 轴正向为车辆前方、y 轴正向为车辆左侧;
• 在惯性坐标系 XOY 下,后轴中心为$(X_r,Y_r)$，前轴中心为$(X_f,Y_f)$
• 横摆角或航向角$\phi$（车体坐标系 x 轴与惯性坐标系 X 轴之间的夹角，正向为逆时针方向）
• 前轮转角${\delta }_f$（正向为逆时针方向）
• 后轴中心的速度$v_r$
• 后轴中心的速度$v_f$
• 后轴中心的瞬时转向半径$R$
• 轴距

下面开始推导运动学模型：
首先，后轴中心$(X_r,Y_r)$ 处的速度：

$$v_r={\dot{X}}_r\cos \phi +{\dot{Y}}_r\sin \phi \text{\hspace{1em}(1)}$$
前、后轴中心的运动学约束（假设没有横向滑移）：
$$\{\begin{array}{l}{\dot{X}}_{\mathrm{f}}\sin \left(\phi +{\delta }_{\mathrm{f}}\right)={\dot{Y}}_{\mathrm{f}}\cos \left(\phi +{\delta }_{\mathrm{f}}\right)\\ {\dot{X}}_{\mathrm{r}}\sin \phi ={\dot{Y}}_{\mathrm{r}}\cos \phi \end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$
由公式（1），可以得到下面两个式子：

$$\begin{gathered} v_r\cos \phi ={\dot{X}}_r{\cos }^2\phi +{\dot{Y}}_r\sin \phi \cos \phi \\ {v}_r\sin \phi ={\dot{X}}_r\cos \phi \sin \phi +{\dot{Y}}_r{\sin }^2\phi \text{\hspace{1em}(3)} \end{gathered}$$
将（2）中的：${\dot{X}}_{\mathrm{r}}\sin \phi ={\dot{Y}}_{\mathrm{r}}\cos \phi$，代入（3）得到后轴中心的速度分量
$$\{\begin{array}{l}{V}_{rx}={\dot{X}}_r=v_{\mathrm{r}}\cos \phi \\ V_{ry}={\dot{Y}}_{\mathrm{r}}=v_{\mathrm{r}}\sin \phi \end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$
另外，前、后轴中心之间的几何关系：
$$\{\begin{array}{l}{X}_{\mathrm{f}}=X_{\mathrm{r}}+l\cos \phi \\ Y_{\mathrm{f}}=Y_{\mathrm{r}}+l\sin \phi \end{array}.\text{\hspace{1em}(5)}$$
对（5）求导得到：
$$\{\begin{array}{l}{\dot{X}}_{\mathrm{f}}={\dot{X}}_{\mathrm{r}}-l\sin \phi \\ {\dot{Y}}_{\mathrm{f}}={\dot{Y}}_{\mathrm{r}}+l\cos \phi \end{array}.\text{\hspace{1em}(6)}$$

将式 (6) 代入式 (2)，解得横摆角速度（对sin(a+b)，cos(a+b)展开），最后化简得横摆角速度
$$\dot{\phi }=\omega =\frac{v_{\mathrm{r}}}{l}\tan {\delta }_{\mathrm{f}}\text{\hspace{1em}(7)}$$

由横摆角速度 $\omega$ 和后轴中心速度 $v_r$ ，得后轮的转向半径 $R$ 和前轮转角${\delta }_{\mathrm{f}}$
$$\{\begin{array}{l}R=v_{\mathrm{r}}/\omega \\ {\delta }_{\mathrm{f}}=\arctan (l/R)\end{array}\text{\hspace{1em}(8)}$$

由（4）和（7）得到运动学模型：
$$\{\begin{array}{l}{\dot{X}}_r=v_{\mathrm{r}}\cos \phi \\ {\dot{Y}}_{\mathrm{r}}=v_{\mathrm{r}}\sin \phi \\ \dot{\phi }=\omega =\frac{v_{\mathrm{r}}}{l}\tan {\delta }_{\mathrm{f}}\end{array}\text{\hspace{1em}(9)}$$

写成矩阵形式：
[ X ˙ r Y ˙ r φ ˙ ] = [ cos ⁡ φ sin ⁡ φ tan ⁡ δ r / l ] v r \left[\begin{array}{c} \dot{X}_{\mathrm{r}} \\ \dot{Y}_{\mathrm{r}} \\ \dot{\varphi} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} \cos \varphi \\ \sin \varphi \\ \tan \delta_{\mathrm{r}} / l \end{array}\right] v_{\mathrm{r}} ​X˙r​Y˙r​φ˙​​ ​= ​cosφsinφtanδr​/l​ ​vr​
[ X ˙ r Y ˙ r φ ˙ ] = [ cos ⁡ φ 0 sin ⁡ φ 0 0 1 ] [ v φ ] \left[\begin{array}{c} \dot{X}_{\mathrm{r}} \\ \dot{Y}_{\mathrm{r}} \\ \dot{\varphi} \end{array}\right]= \begin{bmatrix} \cos \varphi & 0\\ \sin\varphi & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v\\ \varphi \\ \end{bmatrix} ​X˙r​Y˙r​φ˙​​ ​= ​cosφsinφ0​001​ ​[vφ​]