两轮差分底盘运动学模型

1.概述

差分底盘系统是一种欠驱动系统，它存在三个自由度$（X、Y、\theta ）$但仅存在两个输入$（v_r、v_l）$，这使得其运动是耦合的，不能单独分解分析。并且差分底盘仅能进行圆弧运动（直线运动可以视为圆弧半径 $R\to \infty 即r\to 0时$）

2.运动解算

2.1 问题描述

(1) 已知：

• 底盘后轮左轮和右轮速度$v_r、v_l$
• 轮子离底盘中心的距离：$d$
• 两轮之间的距离： $b=2d$

(2) 求底盘中心的速度$v$和角速度$\omega$

2.2 问题建模

首先，左右轮子的角速度是相同的，即
$$w=w_l=w_r\text{\hspace{1em}(0)}$$
其次,线速度$v$是沟通大圆周（整个运动模型转圈）和小圆周（轮子转圈）的桥梁，即:

$$\begin{gathered} v_l=w_l\ast (r-d) \\ {v}_r=w_r\ast (r+d)\text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$
由（1）得到左右角速度解析式：
$$\begin{gathered} w_l=v_l/(r-d) \\ {w}_r=v_r/(r+d)\text{\hspace{1em}(2)} \end{gathered}$$

由左右两个轮子角速度相等，得到：
$$w_l=w_r=v_l/(r-d)=v_r/(r+d)\text{\hspace{1em}(3)}$$
解得底盘中心圆弧运动的半径：$r$
$$r=\frac{(v_r+v_l)\ast d}{v_r-v_l}\text{\hspace{1em}(4)}$$
结合（2）（4）求角速度：
$$\begin{gathered} w_r=\frac{v_r}{r+d} \\ 其中，r+d=\frac{(v_r+v_l)\ast d}{v_r-v_l}+d=\frac{(v_r+v_l)\ast d}{v_r-v_l}+\frac{(v_r-v_l)\ast d}{v_r-v_l}=\frac{2v_r\ast d}{v_r-v_l} \\ 最后，w_r=\frac{v_r-v_l}{2d}\text{\hspace{1em}(5)} \end{gathered}$$
求底盘中心速度：
$$v=w\ast r=\frac{v_r-v_l}{2d}\frac{(v_r+v_l)\ast d}{v_r-v_l}=\frac{(v_r+v_l)}{2}\text{\hspace{1em}(6)}$$