arma模型平稳性和可逆性的条件_时间序列 第三章 ARMA模型的特性.ppt

时间序列 第三章 ARMA模型的特性

第一节 线性差分方程 一、后移算子B定义为 三、? 齐次方程解的计算 1、AR(n)过程自相关函数ACF 1阶自回归模型AR(1) Xt=?Xt-1+ at 的k阶滞后自协方差为： Xt=?1Xt-1+ ?2Xt-2 + at 该模型的方差?0以及滞后1期与2期的自协方差?1, ?2分别为 一般地，n阶自回归模型AR(n) Xt=?1Xt-1+ ?2Xt-2 +… ?nXt-n + at 其中：zi是AR(n)特征方程?(z)=0的特征根，由AR(n)平稳的条件知，|zi|<1; 因此，当zi均为实数根时，?k呈几何型衰减(单调或振荡)； 当存在虚数根时，则一对共扼复根构成通解中的一个阻尼正弦波项， ?k呈正弦波衰减。 对MA(1)过程 其自协方差系数为 二、偏自相关函数 从Xt中去掉Xt-1的影响，则只剩下随机扰动项at，显然它与Xt-2无关，因此我们说Xt与Xt-2的偏自相关系数为零，记为 MA(1)过程可以等价地写成at关于无穷序列Xt，Xt-1，…的线性组合的形式： 与MA(1)相仿，可以验证MA(m)过程的偏自相关函数是非截尾但趋于零的。 ARMA(n,m)的自相关函数，可以看作MA(m)的自相关函数和AR(n)的自相关函数的混合物。 当n=0时，它具有截尾性质； 当m=0时，它具有拖尾性质； 当n、m都不为0时，它具有拖尾性质 从识别上看，通常： ARMA(n，m)过程的偏自相关函数(PACF)可能在n阶滞后前有几项明显的尖柱(spikes)，但从n阶滞后项开始逐渐趋向于零； 而它的自相关函数(ACF)则是在m阶滞后前有几项明显的尖柱，从m阶滞后项开始逐渐趋向于零。 对k=1，2，3，… 依次求解方程，得 ? 上述 …… ? 序列为AR模型的偏自相关函数。 偏自相关性是条件相关，是在给定 的条件下， 和 的条件相关。换名话说，偏自相关 函数是对 和 所解释的相关的度量。 之间未被 由最小二乘原理易得， 是作为 关于 线性回归的回归系数。 如果自回归过程的阶数为n，则对于k>n应该有?kk=0。 L + + + = - - 2 2 1 t t t t X X X q q a 或 t t t t X X X a q q + - - - = - - L 2 2 1 这是一个AR(?)过程，它的偏自相关函数非截尾但却趋于零，因此MA(1)的偏自相关函数是非截尾但却趋于零的。 注意: 上式只有当|?|<1时才有意义，否则意味着距Xt越远的X值，对Xt的影响越大，显然不符合常理。 因此，我们把|?|<1称为MA(1)的可逆性条件(invertibility condition)或可逆域。 MA(m)模型的识别规则：若随机序列的自相关函数截尾，即自m以后，?k=0( k>m)；而它的偏自相关函数是拖尾的，则此序列是移动平均MA(m)序列。 同样需要注意的是：在实际识别时，由于样本自相关函数rk是总体自相关函数?k的一个估计，由于样本的随机性，当k>m时，rk不会全为0，而是在0的上下波动。但可以证明，当k>m时，rk服从如下渐近正态分布: rk~N(0,1/n) 式中n表示样本容量。 因此，如果计算的rk满足： 我们就有95.5%的把握判断原时间序列在m之后截尾。 ARMA(n, m)过程 * ，从而 前面的MA(m)模型、AR(n)模型和ARMA(n,m)模型可分别表示为： 其中： 后移算子的性质: 二、线性差分方程 差分方程的通解为： 可写成 这里 这里，C (t)是齐次方程通解，I(t) 是特解 。 假定G1，G2，…，Gn是互不相同，则在时刻t的通解： 其中Ai为常数(可由初始条件确定)。 无重根 考虑齐次差分方程 重根 设 有d个相等的根 ，可验证通解为 对一般情形， 因此，齐次方程解是由衰减指数项、多项式、衰减正弦项，以及这些函数的组合混合生成的。 齐次方程解便是 请看例题 定义：设零均值平稳序列 第二节 格林函数(Green’s function)和平稳性(Stationarity) 一、格林函数(Green’s function) 能够表示为 则称上式为平稳序列 的传递形式，式中的加权系数 称为格林(Green)函数，其中 格林函数的含义：格林函数是描述系统记忆扰动程度的函数。 (1)式可以记为