题目描述
这是 LeetCode 上的 1976. 到达目的地的方案数 ，难度为 中等。
Tag : 「最短路」、「拓扑排序」、「动态规划」
你在一个城市里，城市由 $n$ 个路口组成，路口编号为 $0$ 到 $n - 1$ ，某些路口之间有 双向 道路。输入保证你可以从任意路口出发到达其他任意路口，且任意两个路口之间最多有一条路。
给你一个整数 n 和二维整数数组 roads，其中 $roads[i] = [u_i, v_i, time_i]$ 表示在路口 $u_i$ 和 $v_i$ 之间有一条需要花费 $time_i$ 时间才能通过的道路。你想知道花费 最少时间 从路口 $0$ 出发到达路口 $n - 1$ 的方案数。
请返回花费 最少时间 到达目的地的 路径数目 。由于答案可能很大，将结果对 $10^9+7$ 取余 后返回。
示例 1：
输入：n = 7, roads = [[0,6,7],[0,1,2],[1,2,3],[1,3,3],[6,3,3],[3,5,1],[6,5,1],[2,5,1],[0,4,5],[4,6,2]]
输出：4
解释：从路口 0 出发到路口 6 花费的最少时间是 7 分钟。
四条花费 7 分钟的路径分别为：
- 0 ➝ 6
- 0 ➝ 4 ➝ 6
- 0 ➝ 1 ➝ 2 ➝ 5 ➝ 6
- 0 ➝ 1 ➝ 3 ➝ 5 ➝ 6示例 2：
输入：n = 2, roads = [[1,0,10]]
输出：1
解释：只有一条从路口 0 到路口 1 的路，花费 10 分钟。提示：
- $1 <= n <= 200$
- $n - 1 <=$ roads.length $<= \frac{n \times (n - 1)}{2}$
- $roads[i].length == 3$
- $0 <= u_i, v_i <= n - 1$
- $1 <= time_i <= 10^9$
- $u_i != v_i$
- 任意两个路口之间至多有一条路。
- 从任意路口出发，你能够到达其他任意路口。
Dijkstra + 拓扑排序 + DP
为了方便，我们记 roads 为 rs，令点数为 n，边数为 m。
边数与点数不在一个数量级上（$m \approx n^2$），属于「稠密图」，我们可以使用「邻接矩阵」进行存图，同时使用朴素 Dijkstra 求解从 $0$ 号点到其他点的最短路，记为 dist 数组，$dist[i] = x$ 代表以 $0$ 号点为起点到到 $i$ 点的最短路径为 $x$。
当我们预处理出 $0$ 点到其他点的最短距离后，考虑如何统计从 $0$ 点到 $n - 1$ 点，且路径和为 $dist[n - 1]$ 的方案数。
一个容易想到的性质：在任意的合法方案中，途径的该路径中的每个点时，都是以最短路径的方式到达的。
使用「反证法」证明该性质的正确性：假设其中一条合法路径为 a -> ... -> k -> ... -> z（其中 a 为 $0$ 号点，z 为 $n - 1$ 号点），其为合法路径，意味着从 a 到 z 的路径和为 $dist[n - 1]$。若我们在经过某个途经点，假设为 k 时，所途径的路径总和 $x$ 不是 $dist[k]$ 的话，意味着我们可以调整从 a 到 k 的路径，使其变为 $dist[k]$，而后续路径不变（从 k 到 z 的路径不变）来得到一条路径和比 $dist[n - 1]$ 要小的从 a 到 z 的路径，这与 $dist[n - 1]$ 为从 a 到 z 的最短路冲突。
至此，我们证明了「在任意的合法方案中，途径的该路径中的每个点时，都是以最短路径的方式到达的」这一性质。
利用该性质，我们可以对图进行「重建」，对于原图中点 $a$ 与点 $b$ 权重为 $c$ 的无向边，我们根据 $dist[a]$、$dist[b]$ 和 $c$ 三者关系建立有向边，并统计入度：
- 若有 $dist[b] = dist[a] + c$，在新图上增加从 $a$ 到 $b$ 的权重为 $c$ 的有向边，同时 $b$ 入度加一;
- 若有 $dist[a] = dist[b] + c$，在新图上增加从 $b$ 到 $a$ 的权重为 $c$ 的有向边，同时 $a$ 入度加一。
构建新图的目的是能够在跑「拓扑排序」过程中进行 DP，统计方案数。
定义 $f[i]$ 为从 $0$ 到达 $i$ 点的方案数，$f[n - 1]$ 为答案，同时我们有显而易见的初始化条件 $f[0] = 1$。
不失一般性考虑 $f[i]$ 如何计算，若我们存在一条从 $i$ 到 $j$ 的出边，并且 $f[i]$ 已确定更新完成（通过判断 $i$ 的入度是为 $0$ 得知，入度为 $0$ 意味着已经没有其他状态可以更新 $f[i]$），我们可以用 $f[i]$ 来更新 $f[j]$，即有 $f[j] = f[j] + f[i]$，含义将到达 $i$ 的路径数累加到到达 $j$ 的路径数中，同时更新 $j$ 的入度。
代码：
class Solution {
int N = 210, MOD = (int)1e9+7;
long INF = (long)1e12;
int[][] g = new int[N][N];
int[] in = new int[N];
long[] dist = new long[N];
boolean[] vis = new boolean[N];
int n;
public int countPaths(int _n, int[][] rs) {
n = _n;
for (int[] info : rs) {
int a = info[0], b = info[1], c = info[2];
g[a][b] = g[b][a] = c;
}
// 朴素 Dijkstra 求解从 0 点到其他点的最短路
dijkstra();
// 利用最短路重新建图，并统计入度
for (int[] info : rs) {
int a = info[0], b = info[1], c = info[2];
g[a][b] = g[b][a] = 0;
if (dist[a] + c == dist[b]) {
g[a][b] = c; in[b]++;
} else if (dist[b] + c == dist[a]) {
g[b][a] = c; in[a]++;
}
}
// 跑拓扑排序统计方案数
Deque d = new ArrayDeque<>();
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (in[i] == 0) d.addLast(i);
}
int[] f = new int[n];
f[0] = 1;
while (!d.isEmpty()) {
int x = d.pollFirst();
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (g[x][i] == 0) continue;
f[i] += f[x];
f[i] %= MOD;
if (--in[i] == 0) d.addLast(i);
}
}
return f[n - 1];
}
void dijkstra() {
Arrays.fill(dist, INF);
dist[0] = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
int t = -1;
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (!vis[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t])) t = j;
}
vis[t] = true;
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (g[t][j] == 0) continue;
dist[j] = Math.min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);
}
}
}
} - 时间复杂度：首次建图复杂度为 $O(m)$；Dijkstra 求最短路复杂度为 $O(n^2)$；再次建图复杂度为 $O(m)$，跑拓扑排序统计方案数复杂度为 $O(n + m)$。整体复杂度为 $O(n^2 + m)$
- 空间复杂度：$O(n^2)$
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1976 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
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