规范场论初步

整体规范不变性

整体规范变换是指不依赖时空坐标的变换。

变换群是阿贝尔群的情况

在标量场的规范变换
$$\varphi (\theta )={\mathrm{e}}^{-iq\theta }{\varphi }_0,\bar{\varphi }(\theta )={\mathrm{e}}^{iq\theta }{\bar{\varphi }}_0$$
下，拉格朗日密度不变。也就是说，对于
$$\mathcal{L}=-[({\partial }^a\bar{\varphi }){\partial }_a\varphi +m^2\varphi \bar{\varphi }]$$
有
$$0=\frac{d\mathcal{L}}{d\theta }=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi }\frac{d\varphi }{d\theta }+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_a\varphi )}\frac{d({\partial }_a\varphi )}{d\theta }+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \bar{\varphi }}\frac{d\bar{\varphi }}{d\theta }+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_a\bar{\varphi })}\frac{d({\partial }_a\bar{\varphi })}{d\theta }$$
容易验证其中$\frac{d\varphi }{d\theta }=-iq\varphi ,\frac{d({\partial }_a\varphi )}{d\theta }=-iq{\partial }_a\varphi$，再代入拉格朗日方程就得到
$$\frac{d\mathcal{L}}{d\theta }=-iq{\partial }_a[\varphi \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_a\varphi )}-\bar{\varphi }\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_a\bar{\varphi })}]=iq{\partial }_a(\varphi {\partial }^a\bar{\varphi }-\bar{\varphi }{\partial }^a\varphi )$$
记
$$J^a=ieq(\varphi {\partial }^a\bar{\varphi }-\bar{\varphi }{\partial }^a\varphi )$$
则有$0={\partial }_a{J}^a$，可见$J^a$就是对应的守恒流。
所有这样的变换的集合$\{{\mathrm{e}}^{-iq\theta }|\theta \in \mathbb{R}\}$是酉群$U(1)$，显然是阿贝尔群。

变换群是非阿贝尔群的情况

考虑同位旋变换
$$\left[\begin{array}{c}{\varphi }_1^{\prime }\\ {\varphi }_2^{\prime }\end{array}\right]=U\left[\begin{array}{c}{\varphi }_1\\ {\varphi }_2\end{array}\right]$$
其中$U$为一复矩阵，$\varphi =\left[\begin{array}{c}{\varphi }_1\\ {\varphi }_2\end{array}\right]$为核子的同位旋态波函数。在改变换下，系统的拉格朗日量仍是不变的。由归一化条件${\varphi }^{†}\varphi =1={\varphi }^{\prime †}{\varphi }^{\prime }=(U\varphi {)}^{†}(U\varphi )={\varphi }^{†}{U}^{†}U\varphi$，这就要求$U^{†}U=I$，所以$U\in U(2)$是酉群，但$U(2)$是非阿贝尔的。又$1=\det (I)=\det (U^{†}U)=|\det U{|}^2$，所以$\det U={\mathrm{e}}^{i\alpha },\alpha \in \mathbb{R}$. 以下为讨论方便起见，我们假定$\det U=1$，于是$U\in SU(2)$，这不会影响问题的实质。注意到$SU(2)$的群元可由其李代数$\mathfrak{su}(2)$的指数映射给出，即
$$U(\theta )={\mathrm{e}}^{-\frac{i}{2}\tau \cdot \theta }$$
其中$\tau$为三个泡利矩阵，$\theta \in {\mathbb{R}}^3$为三个实系数。
一般来说，规范场论总是涉及一个李群（内部变换群）$G$和一个（或多个）矩阵李群$\hat{G}$，且$\rho :G\to \hat{G}$是$G$的表示。群元$g\in G$总可以借指数映射表示为
$$g=\exp ({\theta }^{\mu }{e}_{\mu })$$
其中$e_{\mu }$是李代数$\mathfrak{g}$的一组基矢，${\theta }^{\mu }$为对应的实系数。以$V$代表$\rho$的表示空间，$\dim V=N$，则$\hat{G}$中的元素就可以表示为$N\times N$的矩阵。以$\hat{\mathfrak{g}}$代表$\hat{G}$的李代数，则同态$\rho$在恒等元$e\in G$处的推前映射${\rho }_{\ast }:\mathfrak{g}\to \hat{\mathfrak{g}}$是李代数同态。记$U(\theta )=\rho (g)\in \hat{G}$，则有
$$U(\theta )=\exp [{\rho }_{\ast }({\theta }^{\mu }{e}_{\mu })]=\exp ({\theta }^{\mu }{\rho }_{\ast }{e}_{\mu })$$
我们引入记号$-i{L}_{\mu }\equiv {\rho }_{\ast }{e}_{\mu }\in \hat{\mathfrak{g}}$，就有
$$U(\theta )={\mathrm{e}}^{-i{L}_{\mu }{\theta }^{\mu }}$$
相应的规范变换就推广为
$$\varphi =U(\theta ){\varphi }_0,\bar{\varphi }={\bar{\varphi }}_{0}U(\theta {)}^{-1}$$
注意阿贝尔群的情况是现在情况的特例，只要令$L=q$就回到阿贝尔群的情况。
规范变换的例子有

李群	表示空间维度	物理含义
$U(1)$	1	电荷守恒
$SU(2)$	2	核子同位旋守恒
$SU(2)$	3	$\pi$介子(${\pi }^{+},{\pi }^{-},{\pi }^0$)
$SU(3)$	3	夸克的味(u, d, s)

局域规范不变性

局域性原理认为一个特定物体只能与其周围的物质发生相互作用，这导致我们考虑变换的参数$\theta$依赖时空坐标的情况。

变换群是阿贝尔群的情况

如果变换参数$\theta$依赖时空坐标$x$，那么容易看出此时的拉格朗日密度${\mathcal{L}}_0=-[({\partial }^{\mu }\bar{\varphi }){\partial }_{\mu }\varphi +m^2\varphi \bar{\varphi }]$在如下的局域规范变换下
$$\varphi (x)={\mathrm{e}}^{-iq\theta (x)}{\varphi }_0(x),\bar{\varphi }(x)={\mathrm{e}}^{iq\theta (x)}{\bar{\varphi }}_0(x)$$
无法再保持不变。实际上
$$\begin{gathered} {\partial }_{\mu }\varphi (x)={\mathrm{e}}^{-iq\theta (x)}{\partial }_{\mu }{\varphi }_0(x)-iq\varphi (x){\partial }_{\mu }\theta (x) \\ {\partial }^{\mu }\bar{\varphi }(x)={\mathrm{e}}^{iq\theta (x)}{\partial }^{\mu }{\bar{\varphi }}_0(x)+iq\bar{\varphi }(x){\partial }^{\mu }\theta (x) \end{gathered}$$
解决此问题的办法是修改拉格朗日密度为
$${\mathcal{L}}_1=-[(\overline{D^{\mu }\varphi })D_{\mu }\varphi +m^2\varphi \bar{\varphi }]$$
其中
$$D_a={\partial }_a-ieq{A}_a$$
称为协变导数算符，基本电荷$e$在这里作为耦合常数。在容易看出，为了保证拉格朗日密度在局域规范变换下的不变性，我们需要有
$$D_{\mu }^{\prime }\varphi (x)=({\partial }_a-ieq{A}_{\mu }^{\prime })\varphi (x)={\mathrm{e}}^{-iq\theta (x)}{D}_{\mu }{\varphi }_0(x)$$
这就要求
$$A_{\mu }^{\prime }=A_{\mu }-\frac{1}{e}{\partial }_{\mu }\theta (x)$$
而这不过就是电磁4势的规范变换式。从物理角度考虑，既然复标量粒子带电，我们就需要考虑其与电磁场耦合后的总拉格朗日密度
$$\mathcal{L}={\mathcal{L}}_0+{\mathcal{L}}_{int}+{\mathcal{L}}_{EM}={\mathcal{L}}_1+{\mathcal{L}}_{EM}$$
其中${\mathcal{L}}_{EM}=-\frac{1}{16\pi }{F}^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu }$是电磁场，${\mathcal{L}}_{int}=J^{\mu }{A}_{\mu }-e^2{q}^2\varphi (x)\bar{\varphi }(x)A^{\mu }{A}_{\mu }$表示$\varphi$与电磁场的相互作用对整体拉格朗日密度的贡献。因为$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \bar{\varphi }}=-(ieq{A}_{\mu }{\partial }^{\mu }\varphi +e^2{q}^2{A}_{\mu }{A}^{\mu }\varphi +m^2\varphi ),\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_{\mu }\bar{\varphi })}=ieq{A}^{\mu }\varphi -{\partial }^{\mu }\varphi$，$\mathcal{L}$对$\bar{\varphi }$的拉格朗日方程就给出
$$[(D^{\mu }\varphi )D_{\mu }\varphi -m^2]\varphi =0$$
当$A^{\mu }=0$时这就回到Klein-Gordon方程。又$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_{\mu }}=ieq\varphi {\partial }^{\mu }\bar{\varphi }-ieq\bar{\varphi }{\partial }^{\mu }\varphi -2e^2{q}^2{A}^{\mu }\varphi \bar{\varphi },\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_{\nu }{A}_{\mu })}=-\frac{1}{4\pi }({\partial }^{\nu }{A}^{\mu }-{\partial }^{\mu }{A}^{\nu })$，并注意到${\partial }_{\nu }{A}^{\nu }=0$. [如果${\partial }_{\nu }{A}^{\nu }\ne 0$，我们可以选择这样的参数$\theta$，使得${\partial }_{\nu }(A^{\nu }-{\partial }^{\nu }\theta )=0$]。$\mathcal{L}$对$A_{\mu }$的拉格朗日方程就给出
$${\partial }_{\nu }{\partial }^{\nu }{A}^{\mu }=4\pi [-ieq(\varphi {\partial }^{\mu }\bar{\varphi }-\bar{\varphi }{\partial }^{\mu }\varphi )+2e^2{q}^2\varphi \bar{\varphi }{A}^{\mu }]=-4\pi ieq(\varphi \overline{D^{\mu }\varphi }-\bar{\varphi }{D}^{\mu }\varphi )$$
记
$$J_A^{\mu }=ieq(\varphi \overline{D^{\mu }\varphi }-\bar{\varphi }{D}^{\mu }\varphi )$$
就容易看出${\partial }_{\mu }{J}_A^{\mu }=-\frac{1}{4\pi }{\partial }_{\nu }{\partial }^{\nu }{\partial }_{\mu }{A}^{\mu }=0$，因此$J_A^{\mu }$是现在的新的守恒流。

变换群是非阿贝尔群的情况

以下将把上述讨论推广到非阿贝尔群的情况。此时局域规范变换是
$$\varphi (x)=U(\theta (x)){\varphi }_0(x),\bar{\varphi }(x)={\bar{\varphi }}_0(x)U(\theta (x){)}^{-1}$$
前述讨论的推广概述有二：

1. 多分量复粒子场$\varphi (x)$也伴有$R=\dim G$（$G$为内部变换群）个附加场，称为规范场或杨-米尔斯场，相应地有$R$个规范4势，是闵可夫斯基时空中的$R$个余矢场$\{A_a^r\mid r=1,\dots ,R\}$，其分量记作$A_{\mu }^r(x)$.
2. 全系统的总拉格朗日密度$\mathcal{L}$也可表为
   $$\mathcal{L}={\mathcal{L}}_1+{\mathcal{L}}_{YM}$$
   其中${\mathcal{L}}_{YM}$是杨-米尔斯场的拉格朗日密度，${\mathcal{L}}_1$则取如下形式
   $${\mathcal{L}}_1={\mathcal{L}}_0(\varphi (x),D_{\mu }\varphi (x);\bar{\varphi }(x),\overline{D_{\mu }\varphi (x)})$$
   其中协变导数算符$D_{\mu }$的定义为
   $$D_{\mu }={\partial }_{\mu }-ik{L}_r{A}_{\mu }^r(x)$$
   这里耦合常数取$k$.

我们当然希望$D_{\mu }$仍能够按照如下方式变换，即
$$D_{\mu }^{\prime }\varphi (x)=U(\theta (x))D_{\mu }{\varphi }_0(x)$$
这将保证${\mathcal{L}}_1$的规范不变性，展开上式左边得到
$$\begin{array}{rl}{D}_{\mu }^{\prime }\varphi (x)& ={\partial }_{\mu }[U(\theta (x)){\varphi }_0(x)]-ik{L}_r{A}_{\mu }^{\prime r}(x)U(\theta (x)){\varphi }_0(x)\\ & ={\varphi }_0(x){\partial }_{\mu }U(\theta (x))+U(\theta (x)){\partial }_{\mu }{\varphi }_0(x)-ik{L}_r{A}_{\mu }^{\prime r}(x)U(\theta (x)){\varphi }_0(x)\end{array}$$
而上式右边是
$$U(\theta (x))D_{\mu }{\varphi }_0(x)=U(\theta (x)){\partial }_{\mu }{\varphi }_0(x)-ikU(\theta (x))L_r{A}_{\mu }^r(x){\varphi }_0(x)$$
于是只要下式成立
$${\varphi }_0(x){\partial }_{\mu }U(\theta (x))-ik{L}_r{A}_{\mu }^{\prime r}(x)U(\theta (x)){\varphi }_0(x)=-ikU(\theta (x))L_r{A}_{\mu }^r(x){\varphi }_0(x)$$
即
$$-i{L}_r{A}_{\mu }^{\prime r}(x)=-iU(\theta (x))L_r{A}_{\mu }^r(x)U^{-1}(\theta (x))-\frac{1}{k}[{\partial }_{\mu }U(\theta (x))]U^{-1}(\theta (x))$$
记${\hat{A}}_{\mu }(x)=-i{L}_r{A}_{\mu }^r(x)$，上式还可以简化为
$${\hat{A}}_{\mu }^{\prime }(x)=U(\theta (x)){\hat{A}}_{\mu }(x)U^{-1}(\theta (x))-\frac{1}{k}[{\partial }_{\mu }U(\theta (x))]U^{-1}(\theta (x))$$
从而当$U(\theta (x))={\mathrm{e}}^{-iq\theta (x)}$时，上式就回到$A_{\mu }^{\prime }=A_{\mu }-\frac{1}{e}{\partial }_{\mu }\theta (x)$
我们还需要给出${\mathcal{L}}_{YM}$的定义，为此可以仿照${\hat{A}}_{\mu }(x)$，记${\hat{F}}_{\mu \nu }(x)=-i{L}_r{F}_{\mu \nu }^r(x)$，并定义
$${\hat{F}}_{\mu \nu }(x)={\partial }_{\mu }{\hat{A}}_{\nu }(x)-{\partial }_{\nu }{\hat{A}}_{\mu }(x)+k[{\hat{A}}_{\mu }(x),{\hat{A}}_{\nu }(x)]$$
其中$[{\hat{A}}_{\mu }(x),{\hat{A}}_{\nu }(x)]$是李代数元${\hat{A}}_{\mu }(x),{\hat{A}}_{\nu }(x)$的李括号。这等价于是说
$$F_{\mu \nu }^r(x)={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }^r(x)-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }^r(x)+k{C}_{st}^r{A}_{\mu }^s(x)A_{\nu }^t(x)$$
其中$C_{st}^r$是$G$的李代数$\mathfrak{g}$在基底$\{e_r\}$下的结构常数，$r,s,t=1,\dots ,R$. 可以证明，${\hat{F}}_{\mu \nu }(x)$的变换关系为
$${\hat{F}}_{\mu \nu }^{\prime }(x)=U(\theta (x)){\hat{F}}_{\mu }(x)U^{-1}(\theta (x))$$
现在${\mathcal{L}}_{YM}$就定义为
$${\mathcal{L}}_{YM}=-\frac{1}{16\pi }\sum _{r=1}^R{F}_{\mu \nu }^r(x)F^{r\mu \nu }(x)$$
可以证明该拉格朗日量是规范不变的。