Python3——np.linalg.norm

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在线性代数中，一个向量通过矩阵转换成另一个向量时，原有向量的大小就是向量的范数，这个变化过程的大小就是矩阵的范数。

矩阵的范数

首先假设矩阵的大小为m∗nm∗n，即m行n列。

1. 1-范数，又名列和范数。顾名思义，即矩阵列向量中绝对值之和的最大值。
   $$||A|{|}_1=\underset{j}{\max }\sum _{i=1}^m|a_{ij}|$$
2. 2-范数，又名谱范数，计算方法为$A^{T}A$矩阵的最大特征值的开平方。
   $$||A|{|}_2=\sqrt{\max (\lambda )}$$
3. $\infty$-范数，又名行和范数。顾名思义，即矩阵行向量中绝对值之和的最大值。
   $$||A|{|}_1=\underset{j}{\max }\sum _{i=1}^n|a_{ij}|$$
4. F-范数，Frobenius范数，计算方式为矩阵元素的绝对值的平方和再开方。
   $$||A|{|}_F=\sqrt{\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n|a_{ij}|}$$

向量的范数计算方法有以下5种：

1. 1-范数，计算方式为向量所有元素的绝对值之和。
   $$||x|{|}_1=\sum _i^n|x_i|$$
2. 2-范数，计算方式同欧式距离。
   $$||x|{|}_2=\sqrt{(\sum _i^n|xi{|}^2)}$$
3. $\infty$-范数，所有向量元素中的最大值。
   $$||x|{|}_{\infty }=\underset{i}{\max }|x_i|$$
4. $-\infty$−-范数，所有向量元素中的最小值。
   $$||x|{|}_{-}\infty =\underset{i}{\min }|x_i|$$
5. $p$-范数，所有向量元素绝对值的p次方和的1/p次幂。
   $$||x|{|}_2=\sqrt[p]{(\sum _i^n|xi{|}^p)}$$

在Python中，我们利用norm函数来计算范数，具体如下：

norm(x, ord=None, axis=None, keepdims=False)是numpy库里linalg现行代数模块中计算矩阵或向量范数的方法。

ord	矩阵范数	向量范数
None	Frobenius norm	2-norm
‘fro’	Frobenius norm	–
‘nuc’	nuclear norm 核范数是奇异值的和	–
inf	max(sum(abs(x), axis=1))	max(abs(x))
-inf	min(sum(abs(x), axis=1))	min(abs(x))
0	–	sum(x != 0)
1	max(sum(abs(x), axis=0))	as below
-1	min(sum(abs(x), axis=0))	as below
2	2-norm (largest sing. value)	as below
-2	smallest singular value	as below
other	–	$\sqrt[ord]{\sum (abs(x{)}^{ord})}$

参数
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x : 输入数组，如果axis是None，那么x必须是一维或二维
ord : 可选{非零整数, inf, -inf, ‘fro’, ‘nuc’}，具体如上表所示
axis : 可选{整数,2元组, None}
   如果“axis”是一个整数，它指定“x”的轴计算向量的范数。如果“axis”是一个二元组，则指定包含二维矩阵的坐标轴，以及这些矩阵的矩阵范数计算。如果“axis”为空，那么是对整体所有的数计算。
keepdims : 布尔值, optional
   当 True时， 返回维度为1的结果。
   当False时，结果将是根据原始的“x”的维度正确广播。

注意：严格来说，当 ord <= 0 时，不符合数学上的范数公式，但它仍然适用于各种数值目的。

import numpy as np
a = np.arange(12)
print(a)
b = a.reshape((3, 4))
print(b)
print(np.linalg.norm(a))
print(np.linalg.norm(b))
print(np.linalg.norm(b, 'fro'))
print(np.linalg.norm(b, 'nuc'))

print(np.linalg.norm(a, np.inf))
print(np.linalg.norm(a, -np.inf))
print(np.linalg.norm(a, 1))

print(np.linalg.norm(b, np.inf, axis=1))
print(np.linalg.norm(b, -np.inf, axis=0))
print(np.linalg.norm(b, 1))

[ 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11]
[[ 0  1  2  3]
 [ 4  5  6  7]
 [ 8  9 10 11]]
22.4944437584
22.4944437584
22.4944437584
24.3646384993
11.0
0.0
66.0
[  3.   7.  11.]
[ 0.  1.  2.  3.]
21.0