线性回归理论知识参考文章:线性回归
下面我们将从零开始实现整个线性回归方法, 包括数据集生成、模型、损失函数和小批量随机梯度下降优化器。
%matplotlib inline
import random
import torch
from d2l import torch as d2l
我们将生成一个包含1000个样本的数据集, 每个样本包含从标准正态分布中采样的2个特征。我们的合成数据集是一个矩阵 X ∈ R 1000 × 2 \mathbf{X}\in \mathbb{R}^{1000 \times 2} X∈R1000×2。
使用线性模型参数 w = [ 2 , − 3.4 ] ⊤ \mathbf{w} = [2, -3.4]^\top w=[2,−3.4]⊤、 b = 4.2 b = 4.2 b=4.2和噪声项 ϵ \epsilon ϵ生成数据集及其标签: y = X w + b + ϵ . \mathbf{y}= \mathbf{X} \mathbf{w} + b + \mathbf\epsilon. y=Xw+b+ϵ.
ϵ \epsilon ϵ可以视为模型预测和标签时的潜在观测误差。在这里我们认为标准假设成立,即 ϵ \epsilon ϵ服从均值为0的正态分布。为了简化问题,我们将标准差设为0.01。
def synthetic_data(w, b, num_examples): #@save
"""生成y=Xw+b+噪声"""
X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w))) #该函数返回从单独的正态分布中提取的随机数的张量 normal(mean, std, size)
y = torch.matmul(X, w) + b
y += torch.normal(0, 0.01, y.shape)
return X, y.reshape((-1, 1))
true_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 1000)
features中的每一行都包含一个二维数据样本, labels中的每一行都包含一维标签值(一个标量)
通过生成第二个特征features[:, 1]和labels的散点图, 可以直观观察到两者之间的线性关系。
d2l.set_figsize()
d2l.plt.scatter(features[:, 1].detach().numpy(), labels.detach().numpy(), 1);
训练模型时要对数据集进行遍历,每次抽取一小批量样本,并使用它们来更新我们的模型。 由于这个过程是训练机器学习算法的基础,所以有必要定义一个函数, 该函数能打乱数据集中的样本并以小批量方式获取数据。
定义一个data_iter函数, 该函数接收批量大小、特征矩阵和标签向量作为输入,生成大小为batch_size的小批量。 每个小批量包含一组特征和标签。
def data_iter(batch_size, features, labels):
num_examples = len(features)
indices = list(range(num_examples)) # 生成下标
# 这些样本是随机读取的,没有特定的顺序
random.shuffle(indices) # 把下标随机打乱,用随机的顺序访问样本
for i in range(0, num_examples, batch_size):
batch_indices = torch.tensor(
indices[i: min(i + batch_size, num_examples)]) # 得到batch_size大小个的随机下标
yield features[batch_indices], labels[batch_indices] # torch.Tensor 张量的下标可以是一个数组
当我们运行迭代时,我们会连续地获得不同的小批量,直至遍历完整个数据集。
通过从均值为0、标准差为0.01的正态分布中采样随机数来初始化权重, 并将偏置初始化为0。
w = torch.normal(0, 0.01, size=(2,1), requires_grad=True) # pytorch自动计算梯度
b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
在初始化参数之后,我们的任务是更新这些参数,直到这些参数足够拟合我们的数据。 每次更新都需要计算损失函数关于模型参数的梯度。 有了这个梯度,我们就可以向减小损失的方向更新每个参数。 因为手动计算梯度很枯燥而且容易出错,所以没有人会手动计算梯度。
def linreg(X, w, b): #@save
"""线性回归模型"""
return torch.matmul(X, w) + b # 广播机制
def squared_loss(y_hat, y): #@save
"""均方损失"""
return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape)) ** 2 / 2
在每一步中,使用从数据集中随机抽取的一个小批量,然后根据参数计算损失的梯度。 接下来,朝着减少损失的方向更新我们的参数。 下面的函数实现小批量随机梯度下降更新。 该函数接受模型参数集合、学习速率和批量大小作为输入。每 一步更新的大小由学习速率lr决定。 因为我们计算的损失是一个批量样本的总和,所以我们用批量大小(batch_size) 来规范化步长,这样步长大小就不会取决于我们对批量大小的选择。
def sgd(params, lr, batch_size): #@save
"""小批量随机梯度下降"""
with torch.no_grad():
#torch.no_grad上一个上下文管理器,在你确定不需要调用Tensor.backward()时
#可以用torch.no_grad来屏蔽梯度计算
#在被torch.no_grad管控下计算得到的tensor,它的requires_grad就是False
for param in params:
param -= lr * param.grad / batch_size
param.grad.zero_() # 梯度清零
在每个迭代周期(epoch)中,我们使用data_iter函数遍历整个数据集, 并将训练数据集中所有样本都使用一次(假设样本数能够被批量大小整除)。 这里的迭代周期个数num_epochs和学习率lr都是超参数,分别设为3和0.03。 设置超参数很棘手,需要通过反复试验进行调整。
lr = 0.03 # 可以尝试不同的学习率
num_epochs = 3
net = linreg # 定义模型
loss = squared_loss # 定义损失
for epoch in range(num_epochs):
for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
l = loss(net(X, w, b), y) # X和y的小批量损失
# 因为l形状是(batch_size,1),而不是一个标量。l中的所有元素被加到一起,
# 并以此计算关于[w,b]的梯度
l.sum().backward()
sgd([w, b], lr, batch_size) # 使用参数的梯度更新参数
with torch.no_grad():
train_l = loss(net(features, w, b), labels) # 用更新过的参数计算损失
print(f'epoch {epoch + 1}, loss {float(train_l.mean()):f}')