从信号处理认识傅里叶变换
前言
在表示和分析线性时不变系统时，我们的基本方法是将系统输入分解成基本信号的线性组合，其响应是基本输入响应的相同线性组合。
卷积和和卷积积分源于我们将输入信号分解成基本信号的一种特定选择，特别是延迟的单位脉冲。这种选择的优点在于，对于线性时不变系统，一旦已知脉冲在某一时刻的响应，则该响应在所有时刻的响应都是已知的，（单位脉冲和任意函数的卷积还是它本身 δ ( t ) ∗ h ( t ) = h ( t ) \delta(t)*h(t)=h(t) δ(t)∗h(t)=h(t)）。
这里用另一组不同的基本输入——具有单位幅度的复指数来表示信号。对于周期信号，这种形式的分解被称为傅里叶级数，对于非周期信号，它成为傅里叶变换。复指数是线性时不变系统的本征函数；也就是说，线性时不变系统对任何复杂指数信号的响应只是该信号的缩放复制。
e j w k t → ∫ − ∞ t h ( τ ) e j w k ( t − τ ) d τ = e j w k t ∫ − ∞ t h ( τ ) e − j w k τ d τ = H ( w k ) e j w k t e^{jw_kt}\to \int_{-\infin}^{t}h(\tau)e^{jw_k(t-\tau)}d\tau=e^{jw_kt}\int_{-\infin}^{t}h(\tau)e^{-jw_k\tau}d\tau=H(w_k)e^{jw_kt} ejwkt→∫−∞th(τ)ejwk(t−τ)dτ=ejwkt∫−∞th(τ)e−jwkτdτ=H(wk)ejwkt
因此，如果线性时不变系统的输入被表示为复指数的线性组合，那么系统的响应可以简单地用该表示中每个系数的加权来描述。线性时不变系统和复指数之间的这种非常重要和优雅的关系导致了一些非常强大的概念和结果。下面介绍如何把输入信号表示成复指数的线性组合。
1. 傅里叶级数
法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数，根据欧拉公式 e j w t = c o s ( w t ) + j s i n ( w t ) e^{jwt}=cos(wt)+jsin(wt) ejwt=cos(wt)+jsin(wt)，三角函数又能化成指数形式，也称傅立叶级数为一种指数级数。
给定一个周期为T的函数x(t)，那 么它可以表示为无穷级数(1)：
x ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ a k e j k w 0 t x(t)=\sum_{k=-\infin}^{+\infin}a_ke^{jkw_0t} x(t)=k=−∞∑+∞akejkw0t
其中 a k a_k ak可由下式计算：
a k = 1 T ∫ T x ( t ) e − j k w 0 t d t a_k=\frac{1}{T}\int_Tx(t)e^{-jkw_0t}dt ak=T1∫Tx(t)e−jkw0tdt
注意到：对于周期为T的函数，故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）。k=0时，（1）式中对应的这一项称为直流分量，k=1时具有基波频率，称为一次谐波或基波，类似的有二次谐波，三次谐波等等。
来看祖师爷对上式的分析过程：
上面有两个错误：第1列底部指数开头没有负号；在第2列的底部，dt应该包含在分析积分的最后。
在分析过程中通过引入 ∫ T e − j m w 0 t d t = { T m = 0 0 m ≠ 0 \int_Te^{-jmw_0t}dt=\begin{cases}T&m=0\\0&m\neq0\end{cases} ∫Te−jmw0tdt={T0m=0m=0构造 ∫ T x ( t ) e − j n w 0 t d t = ∫ T ∑ k = − ∞ + ∞ a k e j k w 0 t e − j n w 0 t d t \int_Tx(t)e^{-jnw_0t}dt=\int_T\displaystyle\sum_{k=-\infin}^{+\infin}a_ke^{jkw_0t}e^{-jnw_0t}dt ∫Tx(t)e−jnw0tdt=∫Tk=−∞∑+∞akejkw0te−jnw0tdt。所以对于 ∑ k = − ∞ + ∞ a k ∫ T e j ( k − n ) w 0 t d t \displaystyle\sum_{k=-\infin}^{+\infin}a_k\int_Te^{j(k-n)w_0t}dt k=−∞∑+∞ak∫Tej(k−n)w0tdt中所有 k ≠ n k\neq n k=n的项都等于0，所以 a n = 1 T ∫ T x ( t ) e − j n w 0 t d t a_n=\frac{1}{T}\int_Tx(t)e^{-jnw_0t}dt an=T1∫Tx(t)e−jnw0tdt。
1.1 性质
1.1.1 收敛性
傅里叶级数的收敛性： 满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。
狄利赫里条件： 在任何周期内，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。
吉布斯现象： 在x(t)的不可导点上，如果我们只取（1）式右边的无穷级数中的有限项作和x(t)，那么x(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号，在间断点处的这个起伏，即使项数趋于无穷，也不会消失。
1.1.2 正交性
所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性，例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线性无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线性表示。三角函数族的正交性用公式表示出来就是：
∫ 0 2 π c o s ( m x ) c o s ( n x ) d x = 0 ； ( m ≠ n ) ∫ 0 2 π s i n ( n x ) s i n ( n x ) d x = π ∫ 0 2 π c o s ( n x ) c o s ( n x ) d x = π \int_{0}^{2π}cos(mx)cos(nx)dx=0；(m\neq n) \\ \int_{0}^{2π}sin(nx)sin(nx)dx=π \\ \int_{0}^{2π}cos(nx)cos(nx)dx=π ∫02πcos(mx)cos(nx)dx=0；(m=n)∫02πsin(nx)sin(nx)dx=π∫02πcos(nx)cos(nx)dx=π
1.1.3 奇偶性
奇函数，可以表示为正弦级数，而偶函数，则可以表示成余弦级数：
f o ( x ) = ∑ − ∞ + ∞ b k s i n ( k x ) f e ( x ) = a 0 2 + ∑ − ∞ + ∞ a k c o s ( k x ) f_o(x)=\sum_{-\infin}^{+\infin}b_ksin(kx)\\ f_e(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{-\infin}^{+\infin}a_kcos(kx) fo(x)=−∞∑+∞bksin(kx)fe(x)=2a0+−∞∑+∞akcos(kx)
2. 傅里叶变换
对于一个非周期信号，可以通过周期性的复制这个非周期信号来构建一个周期信号，所得的周期信号与非周期信号在一个周期内相等，随着周期趋近于无穷大时，周期信号会接近于非周期信号，而不再受在一个周期内相等的限制。总之基本原理就是，用傅里叶级数表示周期信号，然后让周期趋于无穷，此时就是对一个周期无穷的信号求傅里叶级数。
具体的操作过程：对于一个非周期信号 x ( t ) x(t) x(t)，我们选取T0将这个非周期信号包括（非周期信号的定义域是T0的子集），将T0部分的信号进行复制，得到一个周期信号 x ~ ( t ) \tilde{x}(t) x~(t)，当 T 0 → ∞ T_0\to \infin T0→∞，得 x ~ ( t ) = x ( t ) \tilde{x}(t)=x(t) x~(t)=x(t)。
非周期信号x(t)的傅里叶级数表示。
这里构造 X ( w ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e − j w t d t X(w)=\int_{-\infin}^{+\infin}x(t)e^{-jwt}dt X(w)=∫−∞+∞x(t)e−jwtdt，也就是说一个关于 w w w的连续函数，而 T 0 a k T_0a_k T0ak的取值是在 X ( w ) X(w) X(w)在 w = k w 0 w=kw_0 w=kw0的特殊时刻。所以我们说 T 0 a k T_0a_k T0ak的值其实是 X ( w ) X(w) X(w)取值的一个子集。这里 X ( w ) X(w) X(w)就是非周期信号x(t)的傅里叶变换。
当 T 0 → ∞ T_0\to\infin T0→∞有 w 0 → 0 w_0\to0 w0→0，意味着 n w 0 nw_0 nw0可以取连续值， k w 0 → w kw_0\to w kw0→w。
根据傅里叶级数的概念，周期信号可以表示成无穷复指数加权之和，而这个权重 a k = 1 T ∫ T x ( t ) e − j k w 0 t d t a_k=\frac{1}{T}\int_Tx(t)e^{-jkw_0t}dt ak=T1∫Tx(t)e−jkw0tdt，而对于非周期信号的权重，我们有 T 0 a k = X ( w ) ∣ w = k w 0 T_0a_k=X(w)|_{w=kw_0} T0ak=X(w)∣w=kw0。下图中虚线绘制的即 T 0 → ∞ T_0\to\infin T0→∞时 a k − w a_k-w ak−w函数图像。
当 T 0 = 4 T 1 T_0=4T_1 T0=4T1时有：
当 T 0 = 8 T 1 T_0=8T_1 T0=8T1时有：
可以看到 a k a_k ak的取值更加密集。当 T 0 → ∞ T_0\to\infin T0→∞时， a k a_k ak的取值就是连续的函数图像。
需要的注意的是，信号经过傅里叶变换得到的是一个复变函数。在傅里叶变换的表达式中要求 + w +w +w和 − w -w −w都存在，对于傅里叶级数也是如此。这是因为我们的信号是用复指数构造的，这要求 w w w有正值和负值（不懂）。
下图是信号 e − a t e^{-at} e−at的经傅里叶变换后的幅频曲线和相频曲线。
将幅频曲线和相频曲线改成波特图。
3. 傅里叶变换的性质
首先给出傅里叶变换中的合成方程及分析方程。
3.1 对称性
X ( w ) ∗ X(w)^* X(w)∗表示 X ( w ) X(w) X(w)的共轭复数。
例子
3.2 时间和频率缩放的性质
可以将这个性质放到声音的播放中解释，例如，当我们倍速播放一段音乐时 x ( a t ) x(at) x(at)，相当于把 x ( t ) x(t) x(t)的函数图像压缩，在频域上与原来音乐相比，幅频曲线变为 X ( w a ) X(\frac{w}{a}) X(aw)，相当于把 X ( w ) X(w) X(w)的图像拉长，所以得到新的幅频曲线与原幅频曲线在对应幅度处，新的幅频曲线下的频率是以前的 a a a倍。
3.3 对偶性
观察下面的合成和分析方程可以发现它们很相似。如果 x ( t ) x(t) x(t)和 X ( w ) X(w) X(w)是一对傅里叶变换，那么 X ( t ) X(t) X(t)的傅里叶变换实际上就是 2 π x ( − w ) 2πx(-w) 2πx(−w)。
例如：
3.4 Parseval关系
时间函数的能量和它的傅里叶变换的能量成比例关系，比例因子是2π。对于周期函数，可以考虑一个周期内的情况。
3.5 其他性质
时间平移性质：时间平移对应增加一个线性相位；微分特性；积分特性；线性特性。
3.6 卷积特性
也就是输入信号在时域的卷积等于频域相乘。
所以卷积特性告诉我们，如果将输入信号分解成一系列复指数，当信号通过线性时不变系统时，这些复指数分别得到频率响应的修正，即用频率响应乘以构成输入的复指数的振幅，它们的总和反过来就是将输出分解成复指数的形式。
低通滤波
理想低通滤波的作用就是只允许一个频率范围的频率通过，并消除那个频率范围以外的所有频率。
实际上可以将微分器诠释为滤波器，微分特性是指一个微分信号的傅里叶变换是初始信号的傅里叶变换乘以一个 j w jw jw。如果一个微分器的频率响应是 j w jw jw，输出的傅里叶变换是 j w jw jw乘以输入的傅里叶变换，所以从振幅上看微分器的频率响应如下图所示，作用就是放大高频，并减弱低频。
对于一个空间信号，经过微分滤波器，缓慢变化的背景会被减弱，并且快速变化的边界会被加强。
3.7 调制特性
卷积特性告诉我们，如果在时间域内进行卷积运算，就相当于在频率域做相乘运算，并且根据对偶性，时间域和频率域可以相互变换，所以在时间域作乘法运算相当于频率域作卷积运算。
调制特性：如果一个信号具有一定的频谱，我们把它乘以一个正弦信号，该正弦信号的傅里叶变换是一系列脉冲，在频率域作卷积运算，相当于平移初始频谱，将将它沿着频率轴平移到载波频率，载波就是正弦信号。