C++基础：二分图（染色法判定）

目录

概述

判断二分图

算法实例

C++ 示例代码

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概述

对于一个无向图 G=(V,E) ，它的顶点集 V 可以恰好分为两个不相交的子集，并且在这个无向图中，任意一条边所连接的两个顶点都分别属于这两个不同的子集，那么我们将这个无向图称作 二分图（如果你愿意也称 二部图）。

图例：（A中的点没有边直接相连，B同理）

 

判断二分图

我们可以使用 DFS 的方法对图进行染色，遍历所有点，如果当前点未被染色，则从此点开始进行 DFS 并进行染色，对路径上的点交替染色，如果发现在某个点时矛盾，原图就不为二分图。

时间复杂度为 O(N)，空间复杂度为 O(N+E)。

算法实例

接下来，用一个例子说明染色的过程

给定一张图

下面我们开始染色，节点 1 未被染色，我们从 1 开始进行 DFS。

先将 1 染成黄色（其他颜色也可以）。

我们发现 2 与 1 直接相连且未被染色，就继续搜索 2，染成蓝色。

我们发现 3 与 2 直接相连且未被染色，就继续搜索 3，染成黄色。

再没有与 3 相连的其他边了，所以我们回溯到 2 ，继续染 4 为黄色，类似 5 也是，最后全染完了就得到了二分图判断和分组结果。

 

那么，一个无向图在什么情况下不能成为一个二分图呢？

当无向图中不存在 奇环（结点个数为奇数的环）时，该图就可以成为二分图，反之就不能成为二分图。

例如这张图：

首先，我们把 1 染成黄色：

接下来，我们把与 1 相邻的 2,4 染成蓝色：

接下来，我们把与 2 相邻的 3 染成黄色：

这时我们发现，5 因为和 4 相邻，所以要被染成黄色；同时还和 3 相邻，所以要被染成蓝色。因此，这个图不能称为一个二分图。

C++ 示例代码

为了便于理解，我们令二分图的两组分别染成颜色 1 和颜色 2 ，未染色的点的颜色标记为 0。

//时间复杂度：O(m+n)
//二分图判定：当且仅当一个图中不含奇数环
//此算法可以判定二分图：黑->白->黑->白……
#include
#include
#include
#define _for(i,a,b) for (int i=(a);i<=(b);i++)
using namespace std;
const int N=1e5+5,M=2e5+10;//N是点的上限，M是边的
int h[N],e[M],ne[M],idx;//单链表
int color[N];//染成i色的点
void init(){
    idx=0;
    memset(h,-1,sizeof(h));
}
void add(int a,int b){
    e[idx]=b;
    ne[idx]=h[a];
    h[a]=idx++;
}
bool dfs(int u,int c){
    color[u]=c;
    for (int i=h[u];i!=-1;i=ne[i]){
        int j=e[i];
        if (!color[j]){
            if (!dfs(j,3-c)){
                return false;
            }
        }else if (color[j]==c){
            return false;
        }
    }
    return true;
}
int main(){
    init();
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    while (m--){
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        add(a,b),add(b,a);
    }
    _for(i,1,n){
        if (!color[i]){
            if (!dfs(i,1)){
                puts("No");
                return 0;
            }
        }
    }
    puts("Yes");
    return 0;
}