3.10 Chió算法

内容

  Chió算法Chió‘s method，是一种计算行列式的方法，也叫Chió Pivotal Condensation，后面这个英文，不太好翻译。还有个说法叫Chio展开法，英文为Chio’s Expansion。这个算法，给我的第一印象是，性能不是很高。它是一种递归算法，是把一个$n\times n$的矩阵缩成一个$(n-1)\times (n-1)$的矩阵，直到缩小为$2\times 2$的矩阵。$2\times 2$的矩阵计算它的行列式就不需要什么算法了，直接公式就完事了，另一个不能递归到$1\times 1$的矩阵的原因是它的缩小过程大量运用了$2\times 2$矩阵的行列式。
  Chió算法的原理如下：
A = ( a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n ) ∣ A ∣ = 1 a 11 n − 2 ∣ ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ ∣ a 11 a 13 a 21 a 23 ∣ ⋯ ∣ a 11 a 1 n a 21 a 2 n ∣ ∣ a 11 a 12 a 31 a 32 ∣ ∣ a 11 a 13 a 31 a 33 ∣ ⋯ ∣ a 11 a 1 n a 31 a 3 n ∣ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∣ a 11 a 12 a n 1 a 32 ∣ ∣ a 11 a 13 a n 1 a 33 ∣ ⋯ ∣ a 11 a 1 n a n 1 a 3 n ∣ ∣ A=\begin{pmatrix} a_{11}& \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}& \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}\\ |A|=\frac{1}{a_{11}^{n-2}}\begin{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} & \cdots & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{1n}\\ a_{21} & a_{2n} \end{vmatrix}\\\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & \cdots & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{1n}\\ a_{31} & a_{3n} \end{vmatrix}\\\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{n1} & a_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{n1} & a_{33} \end{vmatrix} & \cdots & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{1n}\\ a_{n1} & a_{3n} \end{vmatrix}\\ \end{vmatrix} A= ​a11​⋮an1​​⋯⋱⋯​a1n​⋮ann​​ ​∣A∣=a11n−2​1​ ​ ​a11​a21​​a12​a22​​ ​ ​a11​a31​​a12​a32​​ ​⋮ ​a11​an1​​a12​a32​​ ​​ ​a11​a21​​a13​a23​​ ​ ​a11​a31​​a13​a33​​ ​⋮ ​a11​an1​​a13​a33​​ ​​⋯⋯⋱⋯​ ​a11​a21​​a1n​a2n​​ ​ ​a11​a31​​a1n​a3n​​ ​⋮ ​a11​an1​​a1n​a3n​​ ​​ ​
  规律是什么呢？缩小后的矩阵，每个元素是$2\times 2$矩阵的行列式，这个$2\times 2$矩阵，左上角永远是$a_{11}$,右下角其实是原矩阵除去第一行第一列后剩余的矩阵，右上角是原矩阵第一行的元素，左下角是原矩阵第一列的元素。其实这个结构很优雅的，很容易记住。不过看到了这个结构后，也能立马明白为啥性能差了吧，计算量太大了。

举例

 emsp;以一个实际的矩阵为例子：
A = ( 1 − 1 − 2 − 3 3 − 2 − 1 − 2 2 1 1 1 6 5 4 3 ) ∣ A ∣ = 1 1 2 ∣ ∣ 1 − 1 3 − 2 ∣ ∣ 1 − 2 3 − 1 ∣ ∣ 1 − 3 3 − 2 ∣ ∣ 1 − 1 2 1 ∣ ∣ 1 − 2 2 1 ∣ ∣ 1 − 3 2 1 ∣ ∣ 1 − 1 6 5 ∣ ∣ 1 − 2 6 4 ∣ ∣ 1 − 3 6 3 ∣ ∣ = ∣ 1 5 7 3 5 7 11 16 21 ∣ = 1 1 1 ∣ ∣ 1 5 3 5 ∣ ∣ 1 7 3 7 ∣ ∣ 1 5 11 16 ∣ ∣ 1 7 11 21 ∣ ∣ = ∣ − 10 − 14 − 39 − 56 ∣ = 14 A= \begin{pmatrix}1 & -1 & -2 & -3\\ 3 & -2 & -1 & -2\\ 2 & 1 & 1 & 1\\ 6 & 5 & 4 & 3\\ \end{pmatrix}\\ |A|=\frac{1}{1^{2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix}1 & -1\\ 3&-2\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}1 & -2\\ 3&-1\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}1 & -3\\ 3&-2\end{vmatrix}\\\\ \begin{vmatrix}1 & -1\\ 2&1\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}1 & -2\\ 2&1\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}1 & -3\\ 2&1\end{vmatrix}\\\\ \begin{vmatrix}1 & -1\\ 6&5\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}1 & -2\\ 6&4\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}1 & -3\\ 6&3\end{vmatrix}\\ \end{vmatrix}\\ \\= \begin{vmatrix}1 & 5 & 7\\ 3 & 5 & 7\\ 11 & 16 & 21\\ \end{vmatrix}\\=\frac{1}{ 1 ^{ 1 }} \begin{vmatrix}\begin{vmatrix}1 & 5\\ 3&5\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}1 & 7\\ 3&7\end{vmatrix}\\\\ \begin{vmatrix}1 & 5\\ 11&16\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}1 & 7\\ 11&21\end{vmatrix}\\ \end{vmatrix}\\ \\= \begin{vmatrix}-10 & -14\\ -39 & -56\\ \end{vmatrix}\\=14 A= ​1326​−1−215​−2−114​−3−213​ ​∣A∣=121​ ​ ​13​−1−2​ ​ ​12​−11​ ​ ​16​−15​ ​​ ​13​−2−1​ ​ ​12​−21​ ​ ​16​−24​ ​​ ​13​−3−2​ ​ ​12​−31​ ​ ​16​−33​ ​​ ​= ​1311​5516​7721​ ​=111​ ​ ​13​55​ ​ ​111​516​ ​​ ​13​77​ ​ ​111​721​ ​​ ​= ​−10−39​−14−56​ ​=14

Python实现

    def chio(self):
        n = len(self.__lines)
        if len(self.__lines) == 2:
            return self.__lines[0][0] * self.__lines[1][1] - self.__lines[0][1] * self.__lines[1][0]

        remain = [[0 for _ in range(0, n - 1)] for _ in range(0, n - 1)]
        # i 代表行
        for i in range(0, n - 1):
            # j 代表列
            for j in range(0, n - 1):
                tl = self.__lines[0][0]
                tr = self.__lines[j + 1][0]
                bl = self.__lines[0][i + 1]
                br = self.__lines[j + 1][i + 1]
                remain[i][j] = tl * br - tr * bl
        return Matrix(remain).chio() / self.__lines[0][0] ** (n - 2)

  测试代码：

class MyTestCase(unittest.TestCase):

    def test(self):
        a = Matrix([[1, 3, 2, 6],
                    [-1, -2, 1, 5],
                    [-2, -1, 1, 4],
                    [-3, -2, 1, 3]])
        print("A=", a.to_latex(), ",det(A)= ", a.chio(), "|A|=", a.determinant())


if __name__ == '__main__':
    if __name__ == '__main__':
        unittest.main()