每日刷题训练 2022.8.2 P1091 [NOIP2004 提高组] 合唱队形

彬彬不是0Ier

每日刷题训练 2022.8.2 P1091 [NOIP2004 提高组] 合唱队形

思路

原问题很容易转换到求：一个位置结束的最长上升子序列 和 结束的最长下降子序列的和，且要使和最大。答案就是总数减去这个最大和。

直接暴力枚举这个位置，再求长度即可。

但是 这样的暴力肯定能AC（时间复杂度$O(n^3)$且$n\le 100$），所以我发挥了精益求精（闲的没事干）的浪费时间的优秀精神，进行了优化。

优化

$O(n^2)$优化

首先我们回到最长上升/下降子序列，状态的定义是不是：以当前位置结尾的最长上升/下降子序列的长度（包括自己）。

那最长上升子序列就可以直接用$O(n^2)$的算法求，不需要枚举。

这里肯定有人说：这优化不和没有一样吗？时间复杂度不还是$O(n^3)$（要枚举最长下降子序列的开始位置）。

那我们再来看看时间复杂的罪魁祸首——最长下降子序列。

我们换个思路想，倒着 做最长上升子序列。

那这时状态就变为了：从后往前 以当前位置结尾的 最长上升子序列的长度。

再变一下：

倒着是上升，那我正着不就是下降吗？

倒着是从后往前，那我正着不就是从前往后吗？

那我们的状态就变为：以当前位置开始的最长下降子序列的长度。但我们实现还是可以用 从后往前的 最长上升子序列。

$O(n^2)$拿下。

$o(nlo{g}_n)$优化

$O(n^2)$的优化都码了，我相信你会有时间（闲的有空）打$o(nlo{g}_n)$的优化吧？

前置算法：$o(nlo{g}_n)$的最长上升/下降子序列。

直接替换算法。

CODE

#include
using namespace std;

const int maxn=105;

int n,o,ans;
int a[maxn],f[maxn],g[maxn],tmp[maxn];

int lowb(int x) {return lower_bound(tmp+1,tmp+o+1,x)-tmp;}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);

    memset(tmp,0x5f,sizeof(tmp));
    tmp[0]=0;
    o=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(tmp[o]<a[i]) {o++,tmp[o]=a[i],f[i]=o;}
        else{tmp[lowb(a[i])]=min(a[i],tmp[lowb(a[i])]),f[i]=lowb(a[i]);}
    }

    memset(tmp,0x5f,sizeof(tmp));
    tmp[0]=0;
    o=0;
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        if(tmp[o]<a[i]) {o++,tmp[o]=a[i],g[i]=o;}
        else{tmp[lowb(a[i])]=min(a[i],tmp[lowb(a[i])]),g[i]=lowb(a[i]);}
    }

    for(int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,f[i]+g[i]-1);
    printf("%d",n-ans);
}

注

此处查找使用lower_bound（查找大于等于自己的第一个数）。