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随机信号分析笔记06：随机变量函数的概率密度函数求解方法

1. 一维随机变量函数

一个定义在(\Omega, F, P)上的随机变量X，Y=g(X)也是(\Omega, F, P)上的随机变量，并称Y=g(X)是一个随机变量函数。

概率分布函数F_Y(y)=P(Y \leq y)=P(g(X) \leq y)

概率密度函数f_Y(y)=\frac{\mathrm{d} F_Y(y)}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d} P(Y \leq y)}{\mathrm{d} y} = \frac{\mathrm{d} P(g(X) \leq y)}{\mathrm{d} y}

 如果X和Y是单调关系，f_X(x)dx=f_Y(y)dy，则f_Y(y)=f_X(x)\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y}

2. 二维随机变量函数

设二维随机变量(X_1, X_2)的联合概率密度f_{X_1, X_2}(x_1, x_2)，另有二维随机变量(Y_1, Y_2)，且Y_1=g_1(X_1, X_2)，Y_2=g_2(X_1, X_2)

考虑g1，g2是单调连续函数的情况，其反函数存在且唯一，其反函数为X_1=h_1(Y_1,Y_2)，X_2=h_2(Y_1,Y_2)，则根据等概率原理

f_{Y_1,Y_2}(y_1,y_2)=f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)\frac{\mathrm{d} S_{X_1,X_2}}{\mathrm{d} S_{Y_1,Y_2}} = f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)\frac{\partial (x_1,x_2)}{\partial (y_1,y_2)} = f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)\begin{vmatrix} \frac{\partial x_1}{\partial y_1} & \frac{\partial x_1}{\partial y_2} \\ \frac{\partial x_2}{\partial y_1} & \frac{\partial x_2}{\partial y_2} \end{vmatrix}

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