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数字信号处理笔记04：Z变换

一、Z变换的定义

X(z) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}

x[n] = \frac{1}{2\pi j} \oint_{C} X(z) z^{n-1} dz

数字信号处理笔记04：Z变换_第1张图片

二、Z变换的收敛域

z = re^{jw}

X(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] z^{-n} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] r^{-n} e^{-jwn}

|X(z)| = \left | \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] r^{-n} e^{-jwn} \right | \\ \leq \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \left | x[n] r^{-n} \right | \cdot \left| e^{-jwn} \right| \\= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \left | x[n] r^{-n} \right | < \infty

1. 有限长序列

有限长序列，序列区间N_1 \leq n \leq N_2非零

序列 收敛域 零极点图
N_2 < 0 数字信号处理笔记04：Z变换_第2张图片 0 \leq |z| < +\infty 数字信号处理笔记04：Z变换_第3张图片
N_1 \geq 0 数字信号处理笔记04：Z变换_第4张图片 0 < |z| \leq +\infty 数字信号处理笔记04：Z变换_第5张图片
N_1 < 0, N_2 \geq 0 数字信号处理笔记04：Z变换_第6张图片 0 < |z| < +\infty 数字信号处理笔记04：Z变换_第7张图片

2. 无限长序列

序列
n \geq 0 数字信号处理笔记04：Z变换_第8张图片 |z| > R_{x}^{-} 数字信号处理笔记04：Z变换_第9张图片
n < 0 数字信号处理笔记04：Z变换_第10张图片 0 \leq |z| < R_x^{+} 数字信号处理笔记04：Z变换_第11张图片
-\infty \leq n \leq +\infty 数字信号处理笔记04：Z变换_第12张图片

R_x^{-} < |z| < R_{x}^{+}

\phi

数字信号处理笔记04：Z变换_第13张图片

右边序列

x[n] = a^nu[n]

X(z) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} = \sum_{n = 0}^{\infty} a^n z^{-n} = \frac{1}{1-az^{-1}} = \frac{z}{z-a}

|az^{-1}| < 1 \Rightarrow |z| > |a|

左边序列

x[n] = -a^n u[-n-1]

X(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] z^{-n} = -\sum_{n=-\infty}^{-1}a^n z^{-n} = - a^{-1}z \frac{1}{1-a^{-1}z} = \frac{z}{z-a}

|a^{-1}z| < 1 \Rightarrow |z| < |a|

三、Z变换的性质和定理
x[n] X(z) R_x
y[n] Y(z) R_y
h[n] H(z) R_h
线性 ax[n] + by[n] aX[z] + bY[z] 包含R_x \bigcap R_y
时域移位 x[n-n_d] z^{-n_d} X(z)
指数序列相乘 z_0^nx[n] X \left( \frac{z}{z_0} \right ) |z_0| R_x
微分 nx[n] -z \frac{dX(z)}{dz} R_x
共轭 x^*[n] X^*(z^*) R_x
时间倒置共轭 x^*[-n] X^*\left( \frac{1}{z^*} \right ) \frac{1}{R_x}
卷积 x[n] \otimes h[n] X(z) H(z) 包含R_x \bigcap R_h
初值 x[n] = x[n] u[n] \Rightarrow x[0] = \lim_{z \rightarrow \infty} X(z)

四、Z的反变换

1. 观察法

2. 部分分式展开法

数字信号处理笔记04：Z变换_第14张图片

A_1 = (1-0.95z^{-1})X(z)|_{z = 0.95} = -9.5

A_2 = (1-1.05z^{-1})X(z)|_{z=1.05} = 10.5

X(z) = \frac{-9.5}{1-0.95z^{-1}} + \frac{10.5}{1-1.05z^{-1}} = \frac{-9.5z}{z-0.95} + \frac{10.5z}{z-1.05}

当|z| < 0.95时，x[n] = 9.5 \times 0.95^nu[-n-1] - 10.5 \times 1.05^n u[-n-1]

当0.95 < |z| < 1.05时，x[n] = -9.5 \times 0.95^n u[n] - 10.5 \times 1.05^n u[-n-1]

当|z| > 1.05时，x[n] = -9.5 \times 0.95^n u[n] + 10.5 \times 1.05^n u[n]

3. 幂级数展开法

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    我写这片文章只是想让你明白深刻理解某一协议的好处。高手免看。如果有人利用这片文章所做的一切事情，盖不负责。 网上关于ARP的资料已经很多了，就不用我都说了。 用某一位高手的话来说，“我们能做的事情很多，唯一受限制的是我们的创造力和想象力”。 ARP也是如此。 以下讨论的机子有 一个要攻击的机子：10.5.4.178 硬件地址：52:54:4C:98
  • PHP编码规范 dcj3sjt126com 编码规范
    一、文件格式 1. 对于只含有 php 代码的文件，我们将在文件结尾处忽略掉 "?>" 。这是为了防止多余的空格或者其它字符影响到代码。例如：<?php$foo = 'foo';2. 缩进应该能够反映出代码的逻辑结果，尽量使用四个空格，禁止使用制表符TAB，因为这样能够保证有跨客户端编程器软件的灵活性。例
  • linux 脱机管理（nohup） eksliang linux nohupnohup
    脱机管理 nohup 转载请出自出处：http://eksliang.iteye.com/blog/2166699 nohup可以让你在脱机或者注销系统后，还能够让工作继续进行。他的语法如下 nohup [命令与参数] --在终端机前台工作 nohup [命令与参数] & --在终端机后台工作   但是这个命令需要注意的是，nohup并不支持bash的内置命令，所
  • BusinessObjects Enterprise Java SDK greemranqq javaBOSAPCrystal Reports
    最近项目用到oracle_ADF  从SAP/BO 上调用 水晶报表，资料比较少，我做一个简单的分享，给和我一样的新手 提供更多的便利。   首先，我是尝试用JAVA JSP 去访问的。   官方API：http://devlibrary.businessobjects.com/BusinessObjectsxi/en/en/BOE_SDK/boesdk_ja
  • 系统负载剧变下的管控策略 iamzhongyong 高并发
    假如目前的系统有100台机器，能够支撑每天1亿的点击量（这个就简单比喻一下），然后系统流量剧变了要，我如何应对，系统有那些策略可以处理，这里总结了一下之前的一些做法。 1、水平扩展 这个最容易理解，加机器，这样的话对于系统刚刚开始的伸缩性设计要求比较高，能够非常灵活的添加机器，来应对流量的变化。 2、系统分组 假如系统服务的业务不同，有优先级高的，有优先级低的，那就让不同的业务调用提前分组
  • BitTorrent DHT 协议中文翻译 justjavac bit
    前言 做了一个磁力链接和BT种子的搜索引擎 {Magnet & Torrent}，因此把 DHT 协议重新看了一遍。 BEP: 5Title: DHT ProtocolVersion: 3dec52cb3ae103ce22358e3894b31cad47a6f22bLast-Modified: Tue Apr 2 16:51:45 2013 -070
  • Ubuntu下Java环境的搭建 macroli java工作ubuntu
    配置命令： 　　$sudo apt-get install ubuntu-restricted-extras 　　再运行如下命令： 　　$sudo apt-get install sun-java6-jdk 　　待安装完毕后选择默认Java. 　　$sudo update- alternatives --config java 　　安装过程提示选择，输入“2”即可，然后按回车键确定。
  • js字符串转日期（兼容IE所有版本） qiaolevip TODateStringIE
    /** * 字符串转时间（yyyy-MM-dd HH:mm:ss） * result （分钟） */ stringToDate : function(fDate){ var fullDate = fDate.split(" ")[0].split("-"); var fullTime = fDate.split("
  • 【数据挖掘学习】关联规则算法Apriori的学习与SQL简单实现购物篮分析 superlxw1234 sql数据挖掘关联规则
    关联规则挖掘用于寻找给定数据集中项之间的有趣的关联或相关关系。 关联规则揭示了数据项间的未知的依赖关系，根据所挖掘的关联关系，可以从一个数据对象的信息来推断另一个数据对象的信息。 例如购物篮分析。牛奶 ⇒ 面包 [支持度：3%，置信度：40%] 支持度3%：意味3%顾客同时购买牛奶和面包。 置信度40%：意味购买牛奶的顾客40%也购买面包。 规则的支持度和置信度是两个规则兴
  • Spring 5.0 的系统需求，期待你的反馈 wiselyman spring
                   Spring 5.0将在2016年发布。Spring5.0将支持JDK 9。          Spring 5.0的特性计划还在工作中，请保持关注，所以作者希望从使用者得到关于Spring 5.0系统需求方面的反馈。  
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