带你秒懂向量与矩阵的范数(Norm)

为什么要引入范数？

我们都知道，函数与几何图形往往是有对应的关系，这个很好想象，特别是在三维以下的空间内，函数是几何图像的数学概括，而几何图像是函数的高度形象化。
但当函数与几何超出三维空间时，就难以获得较好的想象，于是就有了映射的概念，进而引入范数的概念。
当我们有了范数的概念的后，我们就可以引出两个向量的距离的定义，这个向量可以是任意维数的。通过距离的定义，进而我们可以讨论逼近程度，从而讨论收敛性、求极限。
计算机领域用的比较多的就是迭代过程中收敛性质的判断，一般迭代前后步骤的差值的范数表示其大小，常用的是二范数，差值越小表示越逼近实际值，可以认为达到要求的精度，收敛。
总的来说，范数存在的意义是为了实现比较距离。比如，在一维实数集合中，我们随便取两个点4和9，我们知道9比4大，但是到了二维实数空间中，取两个点（1，0）和（3，4），这个时候我们就没办法比较它们之间的大小，因为它们不是可以比较的实数，于是我们引入范数这个概念，把我们的（1，0）和（3，4）通过范数分别映射到实数1 和 5 ，这样我们就比较这两个点了。所以你可以看到，范数它其实是一个函数，它把不能比较的向量转换成可以比较的实数。

向量的范数

在数学上，对于向量范数的定义，就是只要满足以下三条性质的函数，我们就可以称为它为范数。

（条件1的 $\leftrightarrow$ 的意思就是当且仅当的意思）
所以，范数的是一个宽泛的概念，有很多种，但是我们一般只会用到常用的范数，接下来我们介绍常用的向量范数。

向量的0-范数

$$\Vert x{\Vert }_0=\sum _{i=1}^k|x_i{|}^0$$
意义：非0元素个数
评价：L0范数表示向量中非零元素的个数。L0范数的这个属性，使其非常适用于机器学习中的稀疏编码。在特征选择中，通过最小化L0范数来寻找最少最优的稀疏特征项。但是，L0范数的最小化问题是NP难问题。而L1范数是L0范数的最优凸近似，它比L0范数要更容易求解。因此，优化过程将会被转换为更高维的范数（例如L1范数）问题。

向量的1-范数

$$\Vert X{\Vert }_1=\sum _{i=1}^n|x_i|$$
意义：各个元素的绝对值之和

向量的2-范数 ($l_2-norm$)

$$\Vert X{\Vert }_2=(\sum _{i=1}^n{x}_i^2{)}^{\frac{1}{2}}$$
意义：每个元素平方和再平方根
评价：L2范数是最常用的范数了，我们用的最多的度量距离欧氏距离就是一种L2范数。在回归里面，有人把加了L2范数项的回归c称为“岭回归”（Ridge Regression），有人也叫它“权值衰减(weight decay)”。它被广泛的应用在解决机器学习里面的过拟问题合。

为什么L2范数可以防止过拟合？回答这个问题之前，我们得先看看L2范数实际上是什么。
L2范数是指向量各元素的平方和然后求平方根。我们让L2范数的规则项最小，可以使得的每个元素都很小，都接近于0，但与L1范数不同，它不会让它等于0，而是接近于0，这是有很大的区别的。而越小的参数说明模型越简单，越简单的模型则越不容易产生过拟合现象。为什么越小的参数说明模型越简单？因为当限制了参数很小，实际上就限制了多项式某些分量的影响很小,这样就相当于减少参数个数。

向量的p-范数

$$\begin{gathered} \Vert X{\Vert }_p=(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p{)}^{\frac{1}{p}} \\ Wherep\ge 1 \end{gathered}$$
意义：每个元素p次方和再p次方根

向量的无穷范数

$$\Vert X{\Vert }_{\infty }=\underset{1\le i\le n}{\max }|x_i|$$
意义：向量的p-范数的p取无限大即为向量的无穷范数

矩阵的范数

跟向量的范数定义类似，只不过矩阵的范数的性质比向量的范数性质多了一条相容性。
我们直接引出矩阵的范数定义：

矩阵的1-范数（列模）

$$\Vert A{\Vert }_1=\underset{j}{\max }\sum _{i=1}^m|a_{i,j}|$$
意义：矩阵的列向量的和的最大值

矩阵的2-范数（谱模）

$$\begin{gathered} \Vert A{\Vert }_2=\sqrt{{\lambda }_{\max }(A^{T}A)}={\sqrt{\lambda }}_1 \\ Where{\lambda }_{1}isthemaximumeigenvalueof{A}^{T}A \end{gathered}$$
意义：$A^{T}A$矩阵的最大特征值的开平方

特征值相当于是两个维度的压缩，相当于是从矩阵的维度里面找到最大的，$A^{T}A$很重要我们线代老师提了一嘴，我给忘记了。

——梁子

矩阵的$\infty$范数（行模）

$$\Vert A{\Vert }_{\infty }=\underset{i}{\max }\sum _{j=1}^i|a_{i,j}|$$
意义：矩阵的行向量的和的最大值

矩阵的F-范数

$$\Vert A{\Vert }_F=(\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n|a_{i,j}{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}$$

也可以描述为：

$$||A|{|}_F=\sqrt{Tr(A{A}^T)}$$

矩阵的迹不懂看这里

意义：Frobenius范数，即矩阵元素绝对值的平方和再开平方。感觉和向量的2范数类似

参考文献1
参考文献2