牛牛的凑数游戏详解

基础思路：

考虑一个有序序列，有可重集A包含$[l,r]$内所有数（记作$A=[l,r]$）
若我们有，B=$[l,r-1]$可表示的数为$[1,sumB]$（sumB为B中所有元素和），我们说B是理想的可重集（表示区间是连续的，A的最小不能表示数可能继续增大）。
参考背包原理，可以发现新的可表示区间为:$[1,sumB]\cup [1+a[r],sumB+a[r]]$

尝试用B推出A。
①新的区间是连续的：答案是sumB+a[r]。A是新的理想可重集。
②一旦区间不连续：A和$[l,r到n]$的最小不能表示数都是sumB+1，（因为序列有序，最小的可选数就是现在的，更大的数）

朴素：

对于一个区间，排序后计算第一个sum[i] + 1 < a[i + 1]。

正解：

考虑一个用主席树处理过值域的区间。（主席树）
现在我们知道该区间某个值域的所有数的和，考虑优化上述算法：
设：当前处理的理想区间的和为SUM，最大数为X，那么待选数是大于X的，所有小于SUM+1的数是不会使区间产生裂缝的。 因此可以直接把$[X,SUM+1]$的数全部一次性加入理想区间里。

复杂度证明

容易发现理想可重集的可表示区间的长度是倍增的。
$sizeof[L,R]->sizeof[L,R]+sizeof[L+a[R+1],R+a[R+1]];$

实现：

附上代码：

#include
#include
#include
#include

using namespace std;
typedef long long xt;
#define R(i) for(int i=1; i<=n; ++i)
#define rep(i, x, y) for(int i=x; i<=y; ++i)
const int N=1e5+10, SI=1e7;
const int D=1e9+10;
int n,m;
int a[N];

int amt, rt[SI];
struct nod {
	int v;
	int ls, rs;
	int ihs(const nod &x) {
		ls = x.ls;
		rs = x.rs;
	}
}tr[SI];
#define lc tr[p].ls
#define rc tr[p].rs
#define calmid \
int mid=(L+R)>>1;
int cha(int f, int L, int R, int x, int d) {
	int p=++amt;
	tr[p].v = tr[f].v+d;
	tr[p].ihs(tr[f]);
	if(L==R) return p;
	else {
		calmid;
		if(x<=mid) lc=cha(lc, L, mid, x, d);
		else rc=cha(rc, mid+1, R, x, d);
	}
	return p;
}
xt iqr(int p, int L, int R, int l, int r) {
	int c=0;
	if(!p) return 0;
	if(l<=L&&R<=r) return tr[p].v;
	else {
		calmid;
		if(l<=mid) c+=1ll*iqr(lc, L, mid, l, r);
		if(mid+1<=r) c+=1ll*iqr(rc, mid+1, R, l, r);
	}
	return c;
}
int calc(int l, int r) {
	int x=0, s=0, tmp=0;
	while(tmp=(iqr(rt[r],1,D,x+1,s+1) - iqr(rt[l-1],1,D,x+1,s+1))) {
		x=s+1; s+=tmp;
	}
	return s+1;
}
int in() {
	int nt, x=0;
	while(!isdigit(nt=getchar())); x=(nt^'0');
	while(isdigit(nt=getchar())) x=(x<<1)+(x<<3)+(nt^'0');
	return x;
}
int main() {
	freopen("niuniunum.in", "r", stdin);
	freopen("niuniunum.out", "w", stdout);
	int x, y;
	scanf("%d", &n);
	for(int i=1; i<=n; ++i) x=in(), rt[i]=cha(rt[i-1],1,D,x,x);
	scanf("%d", &m);
	for(int i=1; i<=m; ++i) {
		x=in(), y=in();
		printf("%d\n", calc(x, y));
	}
	
	return 0;
}