Python中利用FFT（快速傅里叶变换）进行频谱分析

本文将从实例的角度出发讲解fft函数的基本使用，不包含复杂的理论推导。

一、基本条件

要对一个信号进行频谱分析，首先需要知道几个基本条件。

1. 采样频率fs
2. 信号长度N（信号的点数）

采样频率fs：根据采样定理可知，采样频率应当大于等于被测信号里最高频率的2倍，才能保证不失真，但是实际情况下，我们可能并不知道最高频率是多少，所以这个就是根据一定的经验或者搜索得到的，比如本次所使用到的ECG（心电）信号，最高频率一般不高于100Hz，于是我们设置采样频率为500（原本200Hz就够了，但是实际工程一般会将标准放大3~5倍，以便留有一定的裕量）。

信号长度N：这个一般很容易获得，因为我们经过采样得到的信号都是离散信号，如果是一维的，只需要使用len函数就可以直接获得信号的点数。

二、设计代码实例

在Python的第三方库文件中，numpy和scipy都有fft的函数，本文使用scipy中的fft函数。

from scipy.fftpack import fft

打开fft函数的源文件，可以看到如下内容：

def fft(x, n=None, axis=-1, overwrite_x=False):
    """
    Return discrete Fourier transform of real or complex sequence.

    The returned complex array contains ``y(0), y(1),..., y(n-1)``, where

    ``y(j) = (x * exp(-2*pi*sqrt(-1)*j*np.arange(n)/n)).sum()``.

    Parameters
    ----------
    x : array_like
        Array to Fourier transform.
    n : int, optional
        Length of the Fourier transform. If ``n < x.shape[axis]``, `x` is
        truncated. If ``n > x.shape[axis]``, `x` is zero-padded. The
        default results in ``n = x.shape[axis]``.

阅读一下可以得到输入参数的信息：

x：待进行FFT的信号序列。

n：可选，傅里叶变换的点数，如果n的长度小于序列x长度，则x将会被截断（truncated），如果n大于序列长度，则序列将会补零，默认是两者相等。

于是，我们开始对fft函数根据自己的需要进行函数封装编写：

def FFT(Fs, data):
    """
    对输入信号进行FFT
    :param Fs:  采样频率
    :param data:待FFT的序列
    :return:
    """
    L = len(data)  # 信号长度
    N = np.power(2, np.ceil(np.log2(L)))  # 下一个最近二次幂，也即N个点的FFT
    result = np.abs(fft(x=data, n=int(N))) / L * 2  # N点FFT
    axisFreq = np.arange(int(N / 2)) * Fs / N  # 频率坐标
    result = result[range(int(N / 2))]  # 因为图形对称，所以取一半
    return axisFreq, result

代码解读：

L是输入序列的长度，很容易理解并获得。

N为大于序列长度的第一个2的幂次数，比如3之后第一个2的幂次数为，5之后的第一个2的幂次数为，因为FFT变换一般选择2的幂次进行，但是计算机计算的话，我们也可以不必如此费事，反正不是我们自己手算。

傅里叶变换的核心代码在第三行，abs是取模运算，因为FFT返回的数据是复数，为了便于绘图，需要求模进行，至于为什么后面又除以L又乘以2，是为了保证变换前后的幅值和变换前一致，比如的信号，如果不进行这一步的话，得到的FFT结果在频率为1的那个“柱子”幅度就不是2，而是一个很大的数，会发生变化，至于为什么，这里理论不去深究。

第四行代码时获取绘图所用的频率x轴，Fs/N是频率分辨率，乘以N个点就可以获得一个序列，这个序列就是每个频率分布点的x轴坐标点，N/2是为了截取一半，我们知道FFT绘制出来的图形是左右对称的，因此这里只取前一半，下面一行代码也是一样，取前一半。

举例说明：通过手动设计被测信号和采样频率等条件，掌握对库函数fft的使用和理解，以便迁移到实际工程中。下面这个例子中，我们设计了一个信号频率为390和2000Hz的正弦叠加信号，该信号的样子如图1所示，对其进行FFT之后如图2所示。

import numpy as np
from scipy.fftpack import fft
import matplotlib.pyplot as plt


def FFT(Fs, data):
    """
    对输入信号进行FFT
    :param Fs:  采样频率
    :param data:待FFT的序列
    :return:
    """
    L = len(data)  # 信号长度
    N = np.power(2, np.ceil(np.log2(L)))  # 下一个最近二次幂，也即N个点的FFT
    result = np.abs(fft(x=data, n=int(N))) / L * 2  # N点FFT
    axisFreq = np.arange(int(N / 2)) * Fs / N  # 频率坐标
    result = result[range(int(N / 2))]  # 因为图形对称，所以取一半
    return axisFreq, result


if __name__ == '__main__':
    Fs = 10000  # 采样频率
    f1 = 390  # 信号频率1
    f2 = 2000  # 信号频率2
    t = np.linspace(0, 1, Fs)  # 生成 1s 的时间序列
    # 给定信号
    y = 2 * np.sin(2 * np.pi * f1 * t) + 5 * np.sin(2 * np.pi * f2 * t)
    # 第一步，对没有添加噪声的信号进行FFT，验证分析是否正确
    x, result = FFT(Fs, y)

    # 绘图
    fig1 = plt.figure(figsize=(16, 9))
    plt.title('original data')
    plt.plot(t, y)
    plt.xlabel('time/s')
    plt.ylabel('Amplitude')
    plt.grid()

    fig2 = plt.figure(figsize=(16, 9))
    plt.title('FFT')
    plt.plot(x, result)
    plt.xlabel('Frequency/Hz')
    plt.ylabel('Amplitude')
    plt.grid()
    plt.show()

输出结果如下：

图1. 原始信号 图2. 对信号进行FFT

结果分析：从FFT的结果我们可以看到，在频率为390到2000Hz的地方有两个凸起的“高峰”，说明原信号在此处的频率占据比重较大，而且FFT的结果也满足原信号的幅值大小，即390Hz信号的幅度为2，2000Hz的信号幅度为5。

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如果我们对信号进行加噪，可以查看FFT分析结果。

噪声信号选择随机信号，注意，点数要和被分析的信号的点数保持一致。

# 0-1 之间的随机噪声乘以10倍，也即0-10之间的噪声
noise1 = 10*np.random.random(10000)  

图3. 没有加入噪声的FFT频谱 图4.加入噪声之后的FFT频谱

 从图中可以看到的是，加入的噪声信号有直流成分（0Hz），其他横坐标上密密麻麻分布的是一些零碎的频率信号。

参考文章：

Python 中 FFT 快速傅里叶分析 - 知乎