一、奇异值分解介绍
我们从几何层面上去理解二维的SVD：对于任意的 2 x 2 矩阵，通过SVD可以将一个相互垂直的网格(orthogonal grid)变换到另外一个相互垂直的网格。
我们可以通过向量的方式来描述这个事实: 首先，选择两个相互正交的单位向量 v1 和 v2, 向量Mv1 和 Mv2 正交。
u1 和 u2分别表示Mv1 和 Mv2的单位向量，σ1 * u1 = Mv1 和 σ2 * u2 = Mv2。σ1 和 σ2分别表示这不同方向向量上的模，也称作为矩阵 M 的奇异值。
这样我们就有了如下关系式
Mv1 = σ1u1
Mv2 = σ2u2
我们现在可以简单描述下经过 M 线性变换后的向量 x 的表达形式。由于向量v1 和 v2是正交的单位向量，我们可以得到如下式子：
于是我们可以得到：
向量内积可以用向量的转置来表示，如下所示
最终的式子为
Mx = u1σ1 v1Tx + u2σ2 v2Tx
M = u1σ1 v1T + u2σ2 v2T
上述的式子经常表示成M = UΣV^T，U 矩阵的列向量分别是u1,u2 ，Σ 是一个对角矩阵，对角元素分别是对应的σ1 和 σ2，V 矩阵的列向量分别是v1,v2。上角标 T 表示矩阵 V 的转置。
这就表明任意的矩阵 M 是可以分解成三个矩阵。V 表示了原始域的标准正交基，u 表示经过 M 变换后的co-domain的标准正交基，Σ 表示了V 中的向量与u 中相对应向量之间的关系。
二、如何获得奇异值分解
事实上我们可以找到任何矩阵的奇异值分解，那么我们是如何做到的呢？假设在原始域中有一个单位圆，如下图所示。经过 M 矩阵变换以后在co-domain中单位圆会变成一个椭圆，它的长轴(Mv1)和短轴(Mv2)分别对应转换后的两个标准正交向量，也是在椭圆范围内最长和最短的两个向量。
换句话说，定义在单位圆上的函数|Mx|分别在v1和v2方向上取得最大和最小值。这样我们就把寻找矩阵的奇异值分解过程缩小到了优化函数|Mx|上了。结果发现（具体的推到过程这里就不详细介绍了）这个函数取得最优值的向量分别是矩阵 MT M 的特征向量。由于MTM是对称矩阵，因此不同特征值对应的特征向量都是互相正交的，我们用vi 表示MTM的所有特征向量。奇异值σi = |Mvi| ， 向量 ui 为 Mvi 方向上的单位向量。但为什么ui也是正交的呢？
推倒如下：
σi 和 σj分别是不同两个奇异值
Mvi = σiui
Mvj = σjuj.
我们先看下Mvi.Mvj，并假设它们分别对应的奇异值都不为零。一方面这个表达的值为0，推到如下
另一方面，我们有
因此，ui 和 uj是正交的。但实际上，这并非是求解奇异值的方法，效率会非常低。这里也主要不是讨论如何求解奇异值，为了演示方便，采用的都是二阶矩阵。
三、应用实例
实例一 数据降维
我们来看一个奇异值分解在数据表达上的应用。假设我们有如下的一张 15 x 25 的图像数据。
如图所示，该图像主要由下面三部分构成。
我们将图像表示成 15 x 25 的矩阵，矩阵的元素对应着图像的不同像素，如果像素是白色的话，就取 1，黑色的就取 0. 我们得到了一个具有375个元素的矩阵，如下图所示
如果我们对矩阵M进行奇异值分解以后，得到奇异值分别是
σ1 = 14.72
σ2 = 5.22
σ3 = 3.31
矩阵M就可以表示成
M=u1σ1 v1T + u2σ2 v2T + u3σ3 v3T
vi具有15个元素，ui 具有25个元素，σi 对应不同的奇异值。如上图所示，我们就可以用123个元素来表示具有375个元素的图像数据了。
实例二 减噪(noise reduction)
前面的例子的奇异值都不为零，或者都还算比较大，下面我们来探索一下拥有零或者非常小的奇异值的情况。通常来讲，大的奇异值对应的部分会包含更多的信息。比如，我们有一张扫描的，带有噪声的图像，如下图所示
我们采用跟实例二相同的处理方式处理该扫描图像。得到图像矩阵的奇异值：
σ1 = 14.15
σ2 = 4.67
σ3 = 3.00
σ4 = 0.21
σ5 = 0.19
...
σ15 = 0.05
很明显，前面三个奇异值远远比后面的奇异值要大，这样矩阵 M 的分解方式就可以如下：
经过奇异值分解后，我们得到了一张降噪后的图像。
实例三 数据分析
我们搜集的数据中总是存在噪声：无论采用的设备多精密，方法有多好，总是会存在一些误差的。如果你们还记得上文提到的，大的奇异值对应了矩阵中的主要信息的话，运用SVD进行数据分析，提取其中的主要部分的话，还是相当合理的。
作为例子，假如我们搜集的数据如下所示：
我们将数据用矩阵的形式表示：
经过奇异值分解后，得到
σ1 = 6.04
σ2 = 0.22
由于第一个奇异值远比第二个要大，数据中有包含一些噪声，第二个奇异值在原始矩阵分解相对应的部分可以忽略。经过SVD分解后，保留了主要样本点如图所示:
就保留主要样本数据来看，该过程跟PCA( principal component analysis)技术有一些联系，PCA也使用了SVD去检测数据间依赖和冗余信息。