6.8 酉空间

定义

  酉空间，又叫复内积空间，也就是是在复线性空间里定义了内积的空间。这就和欧几里得空间形成了一个对应关系。实内积空间叫欧几里得空间，复内积空间叫酉空间。但是酉空间的内积和欧几里得空间有所不同。我们知道欧几里得空间的内积需要满足三个性质：

1. 正定性，自己和自己的内积必须大于0，0向量自己和自己的内积等于0，$(\mathbf{a},\mathbf{a})\ge 0$;
2. 线性性，对于数乘，可以将数乘提到外面，$(k\mathbf{a},\mathbf{b})=k(\mathbf{a},\mathbf{b})$
3. 对称性，也就是交换律,$(\mathbf{a},\mathbf{b})=(\mathbf{b},\mathbf{a})$
4. 加法分配律，$(\mathbf{a}+\mathbf{b},\mathbf{c})=(\mathbf{a},\mathbf{c})+(\mathbf{b},\mathbf{c})$

  而酉空间里的内积的定义则有所不同。它的内积是这样定义的：

6. 加法分配律，$(\mathbf{a}+\mathbf{b},\mathbf{c})=(\mathbf{a},\mathbf{c})+(\mathbf{b},\mathbf{c})$;
7. 正定性，与欧几里得空间一致，$(\mathbf{a},\mathbf{a})\ge 0$，仅当a为0时等于0；

  与欧几里得空间不同的地方是以下两点定义：

3. 数乘线性性， 左边$(k\mathbf{a},\mathbf{b})=k(\mathbf{a},\mathbf{b})$，右边是共轭$(\mathbf{a},k\mathbf{b})=\bar{k}(\mathbf{a},\mathbf{b})$
4. 埃尔米特Hermite性，$(\mathbf{a},\mathbf{b})=\overline{(\mathbf{b},\mathbf{a})}$。

  复内积，也叫埃尔米特内积Hermitian inner product。Hermite是法国数学家，因为法语中H是不发音的，所以读音是埃尔米特，而不是赫尔米特。类似的法语发音现象还有爱马仕Hermès，大文豪雨果Hugo。

标准复内积

  欧几里得空间有个标准内积，同样复内积也有一个标准复内积。我们知道内积本身作为一个双线性函数，它有自己的矩阵形式，比如欧几里得空间的内积，可以写成这样：
$$(a,b)=a^{T}Hb$$
  当H是单位矩阵时，就是标准内积。
  但是埃尔米特内积不行，它不能按常规,它必须定义为：
$$(a,b)=a^{T}H\bar{b}$$
  当H为单位矩阵时，称为标准复内积，或复空间的标准内积，或标准埃尔米特内积。其实用上面的共轭双线性型的定义计算比较麻烦，因为中间的度量矩阵H是单位阵，所以可以直接这样算：
a = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) , b = ( y 1 y 2 ⋮ y n ) ( a , b ) = x 1 y 1 ‾ + x 2 y 2 ‾ + ⋯ + x n y n ‾ a=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots \\x_n\end{pmatrix},b=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots \\y_n\end{pmatrix}\\ (a,b)=x_1\overline{y_1}+x_2\overline{y_2}+\cdots +x_n\overline{y_n} a= ​x1​x2​⋮xn​​ ​,b= ​y1​y2​⋮yn​​ ​(a,b)=x1​y1​​+x2​y2​​+⋯+xn​yn​​
  举个计算标准埃尔米特内积的例子：
a = ( 1 + 3 i 3 − 2 i 2 + 5 i 6 − i ) , b = ( 2 + i 4 − 5 i 3 + 4 i − 1 − 2 i ) ( a , b ) = a T I b ˉ = ( 1 + 3 i 3 − 2 i 2 + 5 i 6 − i ) ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) ( 2 − i 4 + 5 i 3 − 4 i − 1 + 2 i ) = ( 1 + 3 i 3 − 2 i 2 + 5 i 6 − i ) ( 2 − i 4 + 5 i 3 − 4 i − 1 + 2 i ) = 49 + 32 i a=\begin{pmatrix}1+3i\\ 3-2i\\ 2+5i\\ 6-i\\ \end{pmatrix}, b= \begin{pmatrix}2+i\\ 4-5i\\ 3+4i\\ -1-2i\\ \end{pmatrix}\\ (a,b)=a^TI\bar{b}\\= \begin{pmatrix}1+3i & 3-2i & 2+5i & 6-i\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}2-i\\ 4+5i\\ 3-4i\\ -1+2i\\ \end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1+3i & 3-2i & 2+5i & 6-i\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}2-i\\ 4+5i\\ 3-4i\\ -1+2i\\ \end{pmatrix}\\=49+32i a= ​1+3i3−2i2+5i6−i​ ​,b= ​2+i4−5i3+4i−1−2i​ ​(a,b)=aTIbˉ=(1+3i​3−2i​2+5i​6−i​) ​1000​0100​0010​0001​ ​ ​2−i4+5i3−4i−1+2i​ ​=(1+3i​3−2i​2+5i​6−i​) ​2−i4+5i3−4i−1+2i​ ​=49+32i

一般Hermite内积

  一般的Hermite内积，就不是标准的埃尔米特内积，中间的度量矩阵不是单位阵，所以计算时不能省略，我举个例子：
a = ( 1 + 3 i 3 − 2 i 2 + 5 i 6 − i ) , b = ( 2 + i 4 − 5 i 3 + 4 i − 1 − 2 i ) , H = ( 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4 ) ( a , b ) = a T H b ˉ = ( 1 + 3 i 6 − 4 i 6 + 15 i 24 − 4 i ) ( 2 − i 4 + 5 i 3 − 4 i − 1 + 2 i ) = 111 + 92 i ( b , a ) = b T H a ˉ = ( 2 + i 8 − 10 i 9 + 12 i − 4 − 8 i ) ( 1 − 3 i 3 + 2 i 2 − 5 i 6 + i ) = 111 − 92 i a= \begin{pmatrix}1+3i\\ 3-2i\\ 2+5i\\ 6-i\\ \end{pmatrix} ,b= \begin{pmatrix}2+i\\ 4-5i\\ 3+4i\\ -1-2i\\ \end{pmatrix} ,H= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 4\\ \end{pmatrix}\\ (a,b)=a^TH\bar b\\= \begin{pmatrix}1+3i & 6-4i & 6+15i & 24-4i\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}2-i\\ 4+5i\\ 3-4i\\ -1+2i\\ \end{pmatrix}\\ =111+92i\\ (b,a)=b^TH\bar a\\=\begin{pmatrix}2+i & 8-10i & 9+12i & -4-8i\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1-3i\\ 3+2i\\ 2-5i\\ 6+i\\ \end{pmatrix}\\=111-92i a= ​1+3i3−2i2+5i6−i​ ​,b= ​2+i4−5i3+4i−1−2i​ ​,H= ​1000​0200​0030​0004​ ​(a,b)=aTHbˉ=(1+3i​6−4i​6+15i​24−4i​) ​2−i4+5i3−4i−1+2i​ ​=111+92i(b,a)=bTHaˉ=(2+i​8−10i​9+12i​−4−8i​) ​1−3i3+2i2−5i6+i​ ​=111−92i
  从结果上看，满足Hermite性。

度量空间

  引入距离后，才能变成度量空间。酉空间也有长度和距离。长度的定义就是$|a|=\sqrt{(a,a)}$,有了长度就有了距离，距离的定义是：
$$\begin{gathered} d(a,b)=|a-b|=\sqrt{(a-b),(a-b)} \\ =(a-b{)}^{T}H\overline{(a-b)} \end{gathered}$$
  公式中的H是某个埃尔米特内积的度量矩阵。以上面例子里的数据，以非标准内积作为内积，计算下距离：
a = ( 1 + 3 i 3 − 2 i 2 + 5 i 6 − i ) , b = ( 2 + i 4 − 5 i 3 + 4 i − 1 − 2 i ) , H = ( 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4 ) a − b = ( − 1 + 2 i − 1 + 3 i − 1 + i 7 + i ) ( a − b ) T = ( 1 + 3 i 3 − 2 i 2 + 5 i 6 − i ) ( a − b ) T H = ( 1 + 3 i 6 − 4 i 6 + 15 i 24 − 4 i ) ( a − b ) ‾ = ( − 1 − 2 i − 1 − 3 i − 1 − i 7 − i ) d ( a , b ) = ( a − b ) T H ( a − b ) ‾ = ( 1 + 3 i 6 − 4 i 6 + 15 i 24 − 4 i ) ( − 1 − 2 i − 1 − 3 i − 1 − i 7 − i ) = 160 − 92 i a= \begin{pmatrix}1+3i\\ 3-2i\\ 2+5i\\ 6-i\\ \end{pmatrix}, b= \begin{pmatrix}2+i\\ 4-5i\\ 3+4i\\ -1-2i\\ \end{pmatrix}, H= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 4\\ \end{pmatrix}\\ a-b= \begin{pmatrix}-1+2i\\ -1+3i\\ -1+i\\ 7+i\\ \end{pmatrix}\\ (a-b)^T=\begin{pmatrix}1+3i & 3-2i & 2+5i & 6-i\\ \end{pmatrix}\\ (a-b)^TH= \begin{pmatrix}1+3i & 6-4i & 6+15i & 24-4i\\ \end{pmatrix}\\ \overline{(a-b)}=\begin{pmatrix}-1-2i\\ -1-3i\\ -1-i\\ 7-i\\ \end{pmatrix}\\ d(a,b)=(a-b)^TH\overline{(a-b)}\\= \begin{pmatrix}1+3i & 6-4i & 6+15i & 24-4i\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1-2i\\ -1-3i\\ -1-i\\ 7-i\\ \end{pmatrix}\\=160-92i a= ​1+3i3−2i2+5i6−i​ ​,b= ​2+i4−5i3+4i−1−2i​ ​,H= ​1000​0200​0030​0004​ ​a−b= ​−1+2i−1+3i−1+i7+i​ ​(a−b)T=(1+3i​3−2i​2+5i​6−i​)(a−b)TH=(1+3i​6−4i​6+15i​24−4i​)(a−b)​= ​−1−2i−1−3i−1−i7−i​ ​d(a,b)=(a−b)TH(a−b)​=(1+3i​6−4i​6+15i​24−4i​) ​−1−2i−1−3i−1−i7−i​ ​=160−92i