数字图像处理学习--导数运算与锐化空间滤波
引言
本文内容是老猿学习冈萨雷斯《数字图像处理》后的学习总结和感悟，中文版在介绍本文内容时翻译存在比较多的问题，本文是对中文版的完善、补充以及学习感悟的总结。在学习过程中对一些细节进行了一些思考耽误了一些时间，不过也将这些思考单独发布了博文赚点原力值。
一、锐化处理简介
锐化空间滤波器（Sharpening Spatial Filters），用于图像锐化处理（sharpening）的主要目的是突出灰度的过渡部分（highlight transitions in intensity）。图像锐化（image sharpening）的用途多种多样，应用范围从电子印刷(electronic printing )和医学成像(medical imaging)到工业检测(industrial inspection)和军事系统的制导(autonomous guidance in military systems)等。
在《数字图像处理：线性和非线性滤波的平滑空间滤波器（Smoothing Spatial Filters）》中，介绍了图像模糊可通过在空间域用像索邻域平均法实现。因为均值处理与积分（integration）类似（老猿注：请参考《为什么说图像均值处理与积分类似？》），而图像锐化的处理与图像模糊是相反的操作，因此在逻辑上，我们可以得出锐化处理可由空间微分（spatial differentiation）来实现这一结论。事实上，的确如此，本文将讨论由数字微分（digital differentiation）来定义和实现锐化算子的各种方法。
二、锐化空间滤波器与导数运算的关系
2.1、导数、微分相关概念
在开始介绍前，有三个名词术语的翻译对介绍会有一定的影响，中文版翻译有些问题，老猿考究了一下，将其理清如下：
- 微分：英文 differential，函数f(x)的微分表示为df(x)，df(x)=f’(x)dx，更多介绍请参考《人工智能数学基础–微分：定义、运算以及应用》；
- 导数：英文 derivative，函数f(x)的导数表示为f’(x)，f’(x)=df(x)/dx，因此导数又称为微商，更多介绍请参考《人工智能数学基础–导数1：基础概念及运算》。
- 微分运算：英文 differentiation，通常是指求导、求微分的运算。
关于微分和导数的概念有时分不清，二者的关系请参考《一元函数中的导数、微分和不定积分的关系》的介绍。
2.2、图像处理导数运算应该达到的效果
在讨论具体滤波器之前，先回顾一下数字意义上导数（derivatives）的某些基本性质。为简化说明，我们主要集中讨论一阶导数（one-dimensional derivatives）的性质。
图像锐化处理时，我们最感兴趣的是恒定灰度区域中，突变（discontinuities，包括台阶和斜坡突变，step and ramp discontinuities，相关概念请参考《灰度斜坡intensity ramp和灰度台阶intensity step的区别》的介绍）的开始点（onset）与结束点及沿着灰度斜坡处（intensity ramps）的求导表现（behavior of these derivatives）。这些类型的突变可以用来对图像中的噪声点、线与边缘建模。进入或退出这些图像变化过程所包含的导数性质（behavior of derivatives）也很重要。
数字函数（digital function）的导数（derivatives）可以用不同的术语定义，也有各种方法定义这些差别。然而对于一阶导数（first derivative）的任何定义都必须保证以下几点性质：
- 在恒定灰度区域（constant intensity）的值为零；
- 在灰度台阶或斜坡的开始处（at the onset of an intensity step or ramp）值非零；
- 沿着斜坡（along ramps）的值非零。
老猿注：在图像处理中的一阶导数，就是求图像灰度变化曲线的导数，反映的是灰度变化情况，能够突出图像中的对象边缘。
类似地，任何二阶导数（second derivative）的定义必须保证以下几点性质：
- 在恒定区域（constant areas）值为零；
老猿注：这里的恒定区域与恒定灰度应该是有区别的，恒定灰度要求的灰度是没有变化，恒定区域老猿理解要求的是灰度没有突变只有灰度匀速线性变化。 - 在灰度台阶或斜坡的起点处和终点处（at the onset and end of an intensity step or ramp）值非零;
- 沿着恒定坡度的斜坡（along ramps of constant slope）的值为零。
老猿注：上面对于图像一阶导数和二阶导数的要求的中文版翻译存在问题的，所以老猿进行了调整。
除了算子取值的区别外，基于这些数值区别可以得到更多的结论，具体请参考《一阶导数/微分和二阶导数/微分算子在图像锐化处理方面的区别》。
基本上，求导运算（derivative operator）的响应强度与图像在用算子操作的这一点的突变程度成正比，这样，图像微分增强（image differentiation enhances）边缘（edges）和其他突变(discontinuities，如噪声)，而削弱（deemphasizes）灰度变化缓慢（slowly varying intensities）的区域。
2.3、图像处理导数运算的公式
因为数字图像处理的是数字量（digital quantities），其值是有限的，故最大灰度级的变化也是有限的，并且变化发生的最短距离是在两相邻像素之间。
对于一维函数f(x)，其一阶导数的基本定义是差值（difference）：
式 3.6-1 左边用的是偏导数（partial derivative）方式的表示，是因为图像坐标有两个变量，是二维函数，其导数是二维函数，为了与二维函数导数表示一致，因此用了偏导数的表示方式。当函数f(x)只有一个变量时，∂f/∂x=df/dx。
老猿注：
- 相关缘由请参考《为什么说数字图像的一阶微分为f(x+1)-f(x)?》的介绍。
- 上式等式右边也可以写成：f(x)-f(x-1)，因为增量可以为正值也可以为负值。
对于一维函数f(x)，其二阶导数的基本定义是差值：
这个推导由导数四则运算即可推导出来，具体过程请参考《数字图像处理中一元函数f(x)的二阶导数=f(x+1)+f(x-1)-2f(x)的由来》。
很容易验证，式3.6-1和3.6-2满足图像处理导数运算应该达到的效果要求，公式也确实是求导方式推导出来的。
2.4、一阶导数和二阶导数图像影响案例
下图3.36(b)(图的中间)显示了一段扫描线。小方块中的数值是扫描线中的灰度值，它们作为黑点画在上方的图3.36(a)中。用虚线连接这些点是为了帮助我们看得更清楚。正如图中所示，扫描线包含一个灰度斜坡、三个恒定灰度段和一个灰度台阶。圆圈指出了灰度变化的起点和终点。用前面两个定义计算出的图3.36(b)中扫描线的一阶微分和二阶微分画在图3.36©中。
当在点x处计算一阶微分时，我们用下一个点的函数值减去该点的函数值。因此，这是一个“预测未来”(look-ahead)的操作。类似地，为了在x点计算二阶微分，在计算中我们使用前一个点和下一个点。为了避免前一个点和下一个点处于扫描线之外的情况，我们在图3.36中显示了从序列中第二个点到倒数第二个点的微分计算。
让我们从左到右横贯剖面(profile)图，考虑前面部分介绍的一阶导数和二阶导数的性质：
- 首先，我们遇到的是如图3.36(b)和©所示的恒定灰度区域，一阶导数和二阶导数都是零，因此，两者都满足条件(1)；
- 接着，我们遇到紧随台阶的一个灰度斜坡，并且我们注意到在斜坡起点和台阶处的一阶导数不为零；
类似地，在斜坡和台阶的起点和终点的二阶导数也不为零;因此，两个导数特性都满足条件(2)； - 最后，我们看到，两个导数特性也都满足条件(3)，因为对于斜坡来说一阶导数不是零，二阶导数是零。
请注意斜坡或台阶的起点和终点处二阶导数的符号变化。事实上，我们在图3.36©中看到，在一个台阶的过渡中，连接这两个值的线段在两个端点的中间与水平轴相交，这是零交叉（zero crossing）特征，对于边缘定位是非常有用的，将在后续博文中介绍。
数字图像中的边缘在灰度上常常类似于斜坡过渡（ramp-like transitions），这样就导致图像的一阶导数产生较粗的边缘，因为沿着斜坡的导数非零。另一方面，二阶导数产生由零分开(separated by zeros)的一个像素宽的双边缘（double edge one pixel thick)。由此，我们得出结论，二阶导数在增强细节方面要比一阶导数好得多，这是一个适合锐化图像的理想特性。同时二阶导数比一阶导数执行上要容易得多，因此我们主要关注二阶导数。
老猿注：就像零交叉特征那样，由于二阶导数在斜坡的起点和终点（如图像边缘）会有正值和负值的变化，在边缘内部的像素之间二阶导数会为0，正值和负值都会对应到一个边缘，而中间由0分隔，因此会产生由零分开的一个像素宽的双边缘。
三、小结
本文介绍了图像锐化空间滤波器的基本概念，定义了数字图像处理一阶导和二阶导的公式，以及锐化处理与数字图像函数导数的关系，通过介绍，可以理解数字图像的二阶导数比较适合图像锐化处理。
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