为什么说图像均值处理与积分类似？

在冈萨雷斯《数字图像处理》第三版有如下内容：
we saw that image blurring could be accomplished in the spatial domain by pixel averaging in a neighborhood. Because averaging is analogous to integration, it is logical to conclude that sharpening can be accomplished by spatial differentiation.

中译本中这样翻译：

图像模糊可通过在空间域用像索邻域平均法实现。因为均值处理与积分类似，在逻辑上，我们可以得出锐化处理可由空间微分来实现这一结论。

为什么说图像的均值处理与积分类似呢？

之所以说均值处理与积分类似，老猿认为是这样得到的：

1. 在《数字图像处理：线性和非线性滤波的平滑空间滤波器（Smoothing Spatial Filters）》中，介绍了线性滤波器（linear filter，也称为均值滤波器，averaging filters）可以表示成乘积求和的如下形式：
   

2. 在《人工智能数学基础—定积分1：定积分的概念以及近似计算》介绍了定积分的概念，连续函数f(x)对应的和式
   
   被称为函数f(x)的积分和；

从上面2点可以看到，线性滤波的乘积和和定积分的积分和表达式是一样的，而数字图像中每个像素点就是定积分中的每个区间中的一个点，而且数字图像不是连续函数而是离散函数，因此这种乘积和的形式就是对数字图像求积分。

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