电机控制——坐标变换

以下内容仅是近段时间学习坐标变换的心得，里面有不严谨或者错误的地方欢迎大家指出。

引言

对于感应电机而言，定转子之间无直接接触，能量的流动包括转矩的产生都依赖于气隙中磁场。以异步电机为例，转子电流产生是因为定子电流在气隙中产生的旋转磁场切割站姿导体，转子转矩的产生也是因为转子电流处于气隙磁场中。因此对于转子来说，无论气隙中的磁场由什么形式的绕组产生，只要转子感受到的磁场不变，最终的响应（包括电流、转矩等）也不变。如果能够建立起这个概念，对理解后面坐标变换部分的出发点和物理依据有一定的帮助。

磁动势的正弦(余弦)分布规律

通过电机学的知识我们知道，一旦电机被制造出来，一相绕组通电流时（任意电流）在整个气隙圆周中产生的磁动势基波(以下所说的磁动势都指的是基波磁动势)沿气隙呈正弦分布(这是由电机结构和绕组结构等保证的)。例如当某相通以直流电流时，该电流在气隙圆周中产生的磁动势是正弦分布的：如果位置原点取在该相绕组轴线，磁动势随位置（也就是角度）变化的函数是余弦函数的形式，磁动势的幅值正比于直流电流的幅值。如果该直流电流为$I_d$，则由该电流产生的磁动势沿气隙的分布为
$F=k{I}_d\cos \theta$
其中$k$为比例系数，与电机结构绕组匝数等有关(与匝数成正比)，是个确定的常数，$\theta$为电角度 。
而当直流电流变成交流电流时，磁动势的分布形式仍然是余弦函数的形式，幅值任然正比于电流，不过此时电流是交流电流，因此磁链幅值随时间变化的规律与电流随时间变化的规律相同。或者通过微分的思想，将时间微分后交流电流可以看成每个小时间段内的直流电流，此时就可以利用上述直流电流的分析结果，只不过该直流电流的幅值随时间是变化的，变化规律刚好是正余弦函数的形式。如果该交流电流为
$i_a=I\cos \omega t$
将其视为幅值时变的直流电流时，那么任一时刻$t_k$的电流为
$i_k=I\cos \omega t_k$
此时就可以套用直流时的公式得到磁动势为
$F_k=k{i}_k\cos \theta =kI\cos \omega t_k\cos \theta =F(t)\cos \theta$。
总之不管随电流随时间变化的规律如何，任一时刻k电流产生的磁动势在气隙中是按余弦规律分布的。如果能够用相机拍下某一时刻气隙圆周中磁动势的大小，我们在照片中看到的会是一个波浪(也就是余弦曲线)，波浪的最高点恰好在相绕组轴线上。在下一时刻磁链照片仍然是一个波浪，只不过波浪最高点的高度可能会有变化，这个高度正好就正比于该时刻电流的大小。

矢量的引入

正因为磁动势随位置的变化是余弦函数的形式，我们可以用一个矢量去表示它。我们知道矢量在某一方向的投影值等于矢量的模长乘以矢量方向与投影方向之间夹角的余弦值。巧合的是磁动势随位置的变化规律也是余弦函数，在某一位置的磁动势是磁动势幅值乘以该位置角的余弦值。因此如果把一个长度为磁链幅值的矢量放在绕组轴线上，那么其他位置的磁链就是该矢量在该位置的投影，即
$F(\theta )=F\cos \theta$
通过前面的分析我们知道。神奇的是如果根据叠加定理将三相绕组产生的磁动势给加起来，气隙合成磁动势就会变成一个行波，也就是我们常说的圆形旋转磁动势。下面简单推导一下这个结论。
设三相电流为
$\{\begin{array}{l}{i}_a=I\cos \omega t\\ i_b=I\cos (\omega t-120)\\ i_c=I\cos (\omega t+120)\end{array}$
则在$\theta$角位置处三相电流产生的磁动势为
$\{\begin{array}{l}{F}_a=kI\cos \omega t\cos \theta \\ F_b=kI\cos (\omega t-120)\cos (\theta -120)\\ F_c=kI\cos (\omega t+120)\cos (\theta +120)\end{array}$
合成磁动势为
$$\begin{gathered} F=F_a+F_b+F_c \\ =\frac{1}{2}kI[\cos (\omega t+\theta )+\cos (\omega t-\theta )]+ \\ \frac{1}{2}kI[\cos (\omega t+\theta -240)+\cos (\omega t-\theta )]+ \\ \frac{1}{2}kI[\cos (\omega t+\theta +240)+\cos (\omega t-\theta )] \\ =\frac{1}{2}kI[\cos (\omega t+\theta )+\cos (\omega t-\theta )]+ \\ \frac{1}{2}kI[-\frac{1}{2}\cos (\omega t+\theta )-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin (\omega t+\theta )+\cos (\omega t-\theta )]+ \\ \frac{1}{2}kI[-\frac{1}{2}\cos (\omega t+\theta )+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin (\omega t+\theta )+\cos (\omega t-\theta )] \\ =\frac{3}{2}kI\cos (\omega t-\theta ) \end{gathered}$$
反正经过一顿化简（上面运用到了一个积化和差公式，可以参考这里，气隙合成磁动势变成了一个行波，也就是说磁动势的幅值不变了，而幅值的位置随时间变化。或者是磁动势矢量的长度不变，其位置在随时间旋转，并且其旋转的转速与电流的电角频率是相等的。
如果还没有忘记物理学里面的驻波和行波的话，应该不难想象出单相交流电流产生的脉振磁动势是个什么样的波形，以及对称三相电流产生的圆形旋转磁动势又是个什么样的波形。
对上面内容进行简单总结：
1.对于转子而言，只要气隙磁场是一样的，根本就关心这个磁场是由谁产生的；
2.单相交流电流产生的脉振磁动势和三相对称电流产生的圆形旋转磁动势在气隙中的波形可以类比于驻波和行波；
3.用一个矢量来表示磁动势(不管是脉振磁动势还是圆形旋转磁动势)的依据是磁动势沿气隙圆周是按余弦规律分布的；

坐标变换

尝试解释坐标变换的物理意义

好了，接下来正式进入坐标变换的内容。前面讲的都是三相对称绕组，如果一个电机只有两相绕组会有什么不同呢。假设这两相绕组在空间上间隔90°的电角度，往这两相绕组里面通以时间上间隔90°电角度的交流电流，即
$\{\begin{array}{l}{i}_{\alpha }=I\cos \omega t\\ i_{\beta }=I\cos (\omega t-90)\end{array}$
$\{\begin{array}{l}{F}_{\alpha }=kI\cos \omega t\cos \theta \\ F_{\beta }=kI\cos (\omega t-90)\cos (\theta -90)\end{array}$
当然了，一相绕组产生的磁动势肯定也是脉振磁动势了，如果叠加起来是什么样的呢，加起来算算就知道了。这里过程与三相是一样的，就不再演示。
经过一通运算之后我们发现磁动势也变成了一个圆形旋转磁动势。这就十分有趣了：因为对于一台感应电机的转子来说，我直接感受到的定子对我的影响正是磁动势。而三相对称的绕组能产生圆形旋转磁动势，两相对称的绕组也能产生圆形旋转磁动势，如果这两个磁动势完全一样了，那么对于我转子来说根本就不在乎定子是两相的还是三相的。

静止三相到静止两相(3s-2s)

那么如何保证三相和两相绕组产生的圆形旋转磁动势是一样的呢。在前面我们已经用一个旋转的矢量来表示圆形旋转磁动势了，这里终于能够体现这种表示方法的一个好处了。我们知道在直角坐标系中一个矢量一旦确定了，那么这个矢量在x轴和y轴的投影是唯一确定的。反过来说也是一样的：只要一个矢量在x轴和y轴的投影是确定了，那么这个矢量也唯一确定了。同时我们还知道合成矢量在某个方向的投影等于分矢量在该方向投影的和。
那么应用我们在引言上的一些铺垫，当两相坐标系的$\alpha$轴超前于A相轴线$\theta$角度，下面这个式子也就呼之欲出了：
$\{\begin{array}{l}{N}_2{i}_{\alpha }=N_3[i_a\cos \theta +i_b\cos (\theta -120)+i_c\cos (\theta +120)]\\ N_2{i}_{\beta }=N_3[-i_a\sin \theta -i_b\sin (\theta -120)-i_{c}sin(\theta +120)]\end{array}$
注意到上面的公式里面出现了两个变量$N_3$和$N_2$，分别是三相绕组和两相绕组的匝数。因为在前面磁动势公式里面的比例系数$k$是正比于绕组匝数的。
如果我们把两相坐标系的$\alpha$轴和A相轴线重合，并且让两个匝数相等，上式可以简化为下面的形式
$\{\begin{array}{l}{i}_{\alpha }=i_a+i_b\cos (-120)+i_c\cos 120\\ i_{\beta }=-i_b\sin (-120)-i_c\sin 120\end{array}$
上面这个式子就是我们熟悉的静止三相到静止两相(3s-2s)的变换公式。

其他变换

上面已经简单解释了坐标变换的物理意义，其他变化延续上面的思路也能够自行推出，公式比较复杂就懒得打了，网上或者教材上面都有。
坐标变换对于电机控制来说很大的一个意义在于可以把交流变换成同步旋转的直流，把三相变成两相，这样对于控制来说能省去很多麻烦。