离散数学-逻辑

1.命题逻辑的基本概念

1.1 命题与连接词

1.1.1命题

非真即假的陈述句

1.1.2真值

命题的判断结果

1. 一个命题如果是对的或正确的,则称为真命题,其真值为“真(ture),常用T或1表示；一个命题如果是错的或不正确的,则称为假命题,其真值为“假”(false),常用F或0表示

2. 任何命题的真值都是唯一的

例：

1.1.3命题变元（命题变项）

通常用小写英文字母p,q,r,...或带有下标的小写字母P₁,p₂,p₃,...来表示命题,称为命题变元或命题变项

1.命题变项与命题的区别：

• 命题有具体的含意和确定的真值
• 命题变项只有明确表示某个命题时才有具体的含意和确定的真值

2.命题变项一般只表示一个抽象的命题,其真值可能是T也可能是F，但通常也简称命题变项为命题

3.不能再分解的命题称为简单命题或原子命题，一般形式是“......是......”。由原子命题组合而成的命题称为复合命题

例：

• ∏和e都是无理数
• 6和8至少有一个是合数
• 说刘老师讲课不好是不正确的
• 不下雨我就去买书。

1.1.4命题联结词（命题运算符）

将命题连接起来的方式叫做命题联结词或命题运算符

1.设p为命题,否定词“¬”是一元联结词

• ¬p读作"非p"或“p的否定"
• 若p的真值为真,则¬p的真值为假;反之,若p为假,则¬p为真
• 否定联结词的含意相当干自然语言中的“不”、“没有”、无”、“否定”,“井非”“取反"等

2.设p,q为命题,合取词"∧"是二元联结词

• p∧q读作“p与q”或“p,q的合取"
• 当且仅当p,q的真值均为真时,p∧q的真值为真
• 合取联结词的含意相当于自然语言中的“p和q”、“p与q、“p且q、“p,同时q、“p并且q“p以及q、“p而且q”、“既p,又q、“不但p,而且q”、“尽管p,依然q”、“虽然p,但是q”等

3.设p,q为命题,析取词"∨"是二元联结词

• pVq读作"p或q”或“p,q的析取"
• 当且仅当p,q的真值均为假时,pVq的真值为假
• 析取联结词的含意相当于自然语言中的“p或者q",“要么p,要么q”,“不是p就是q”等。

4.设p,q为命题,异或词"p⊕q”是二元联结词

• p⊕q读作“p异或q
• 当且仅当p,q的真值相同时,p⊕q的真值为假
• “异或“也称“不可兼或"

5.设p.q为命题,蕴涵词“→"是二元联结词

• p→q读作“若p则q"
• 当且仅当p的真值为真、q的真值为假时,p→q的真值为假
• p称作前提,q称作结论
• 蕴联结词的含意相当于自然语言中的“如果p则q"、“因为p,所以q、“只要p,就q"、“只有q,才p、“仅当q,则p","p是q的充分条件”、“q是p的必要条件"“既然p那么q"等

6.设p,q为命题,等价词"＜＝＞"是二元联结词

• p＜＝＞q读作“p当且仅当q”或“p,q等价
• 当且仅当p.q的真值相同时,p＜＝＞q的真值为真
• “等价“也称作双条件.
• 等价联结词的含意相当于自然语言中的"p,当且仅当q”“p是q的充分必要条件”、“p,q含义相同”等。

1.1.5命题公式及其分类

复合命题是由命题变项、逻辑联结词和括号等符号组成的符号串;但反过来,由这些符号组成的符号串并不一定都是命题

 

 

 设A为命题公式,B为A中的一个连续的符号串,且B为命题公式,则称B为A的子公式

 命题公式不是命题,只有当公式中的每一个命题变项都被赋以确定的真值时,公式的真值才被确定,从而成为一个命题

 

• 重言式一定是可满足式,但反之不真
• 任意两个重言式的析取或合取仍然是重言式
• 任意两个矛盾式的析取或合取仍然是矛盾式

1.1.6真值表

一个命题公式在每种真值指派(每种命题变项取值的组合)上的值可以直观地用真值表来计算和表示

为方便构造真值表,特约定如下:

(1)命题变项按字典序排列

(2)对每个真值指派,以二进制数从小到大或从大到小顺序列出

(3)若公式较复杂,可先列出各子公式的真值,最后列出所求公式的真值

p	q	¬p	p∧q	pVq	p⊕q	p→q	p＜＝＞q
T	T	F	T	T	F	T	T
T	F	F	F	T	T	F	F
F	T	T	F	T	T	T	F
F	F	T	F	F	F	T	T

 1.1.7命题的符号化

把一个用自然语言表述的命题表示为由命题公式的形式,称为命题的符号化,这是进行推理演算的首要步骤。命题的符号化一般经过如下三个步骤:

1. 找出各原子命题,将原子命题符号化

2. 找出命题中各联结词,将联结词符号化

3. 将原子命题和联结词组成一个复合命题

2.命题逻辑等值演算

2.1等值式

1.设A,B为两个命题公式,若A<=>B为一个重言式,则称A与B等值或逻辑等价,记作A ≡B,称A≡B为等值式

2.判断两个命题公式是否等值主要有两种方法

• 真值表法：将两个公式的真值表列出,判断输出列是否相同

• 等值演算法：由已知的等值式推演出新的等值式

3.等值演算不能直接证明两个公式不等值。证明两个公式不等值的基本思想是找到一个真值指派使一个成真,另一个成假

4.例  p∨(p∧q)≡p

p	q	p∧q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

• 当命题变项较多时,真值表法的工作量很大
• 而等值演算法则以基本等值式为基础,应用代入规则、置换规则,逐步推演。

5.定理(代入规则)

•  假设A是一个重言式,对其中所有相同的命题变项都用同一命题公式进行代换,所得到的结果仍为一重言式
• 重言式的值不依赖于命题变项值的变化。因此,对命题变项以任何公式替换后,得到的仍是重言式

2.2主析取范式与主合取范式

1。形如A1VA2V...VAn的公式称为析取范式,其中Ai(i=1,…n)为合取式。给定命题公式A，与A等值的析取范式称作A的析取范式。

2.形如A1∧A2∧...∧An的公式称为合取范式，其中Ai(i=1,...,n)为析取式。给定命题公式A,与A等值的合取范式称作A的合取范式。

• 可能出现的连接词只有：∨，∧，～
• 一个析取范式是矛盾式。当且仅当它的每个合取式都是矛盾式,即每个合取式至少包含一个互补对
• 一个合取范式是重言式,当且仅当它的每个析取式都是重言式,即每个析取式至少包含一个互补对
• 任何析取范式的对偶式为合取范式;任何合取范式的对偶式为析取范式
• 设B为A*的析取范式,则B*为A的合取范式

3.定理(范式存在定理）：任一命题公式都存在着与之等值的析取范式和合取范式。

4.求范式的步骤:

• 利用等值式模式将其它联结词转化成∨，∧，～

♤  p→q≡¬p∨q

  ♤  p↔q≡(¬p∨q)∧(¬q∨p)

              ≡ (p∧q)∨(¬p∧¬q)

• 简化双重否定号,并将所有～写到文字里,使之只作用于命题变项

♤¬(¬p)≡p

♤¬(p∨q) ≡¬p∧¬q

♤¬(p∧q) ≡¬p∨¬q

• 利用分配律,将其最终变成合取范式或析取范式

♤p∨(q∧r)≡(p∨q)∧(p∨r)

♤p∧(q∨r)≡(p∧q)∨(p∧r)

5.定理(范式存在定理):任一命题公式都存在着与之等值的析取范式和合取范式.但析取范式和合取范式可能不是惟一的.

2.3极小项与极大项

2.3.1极小项

1.概念：

若n个命题变项p1P2,...,pn组成的合取式q1∧q2∧...∧qn满足qi=pi或¬pi(1≤i≤n)即:

(1)每个命题变项与它的否定式不同时出现,但二者之一必定出现且仅出现一次;

(2)第个命题变项或其否定出现在从左起的第位上,

则称合取式q1∧q2∧...qn为极小项

2.将命题变项看成1,命项的否定看成0,于是每个极小项对应一个二进制数,该二进制数正是

该极小项真值为真的指派。将其转换为十进制数

i,作为下脚标,则该极小项可以表示为mi。

3.性质：

①任一含有n个命题变项的公式,所有可能的极小项的个数和该公式的解释个数相同,都是2ⁿ

②每个极小项只在一个解释下为真

③极小项两两不等值,并且mi∧mj≡F(i≠j)因为其中至少包含一对互补对

④恰由2ⁿ个极小项的析取构成的公式必为重言式

2.3.2极大项

1.概念：

若n个命题变项p1,P2,...,pn组成的析取式q1∨q2∨...∨qn满足qi=pi或¬pi(1≤i≤n)即:

(1)每个命题变项与它的否定式不同时出现,但二者之一必定出现且仅出现一次;

(2)第i个命题变项或其否定出现在从左起的第i位上,

则称析取式q1∨q2∨...∨qn为极大项

2.将命题变项看成0,命项的否定看成1,于是每个极大项对应一个二进制数,该二进制数正是

该极大项真值为假的指派。将其转换为十进制数i,作为下脚标,则该极大项可以表示为Mi。

3.性质：

①任一含有n个命题变项的公式,所有可能的极大项的个数和该公式的解释个数相同,都是2ⁿ

②每个极大项只在一个解释下为假

③极大项两两不等值,并且Mi∨Mj≡T(i≠j)因为其中至少包含一对互补对

④恰由2ⁿ个极大项的合取构成的公式必为矛盾式

三.定理

设mi和Mi是由命题变项p1,P2,...,pn形成的极小项和极大项，则mi≡¬Mi。

2.3.3主析取范式

1.概念：若由n个命题变项构成的析取范式中所有的合取式都是极小项,则称其为主析取范式用∑表示。

2.给定命题公式A,与A等值的主析取范式称作A的主析取范式。

3.即仅由有限个极小项构成的析取范式称为主析取范式。

4.求给定命题公式A的主析取范式的步骤:

1).求出A的一个析取范式A';

2).若A'的某合取式B中不含命题变项pi或其否定¬pi,则将B展成如下式:B≡B∧(pi∨¬pi)≡(pi∧B)∨(B∧¬pi)

3).将重复出现的命题变项、矛盾式及重复出现的极小项都“消去”,如p∧p用p置换,p∧¬p用F置换,miVmi,用mi置换;

4).将极小项按由小到大的顺序排列,并用∑表示之。如m1Vm2Vm3用∑(1.2,5)表示

2.3.4主合取范式

1.概念：若由n个命题变项构成的合取范式中所有的析取式都是极大项,则称其为主合取范式 用∏表示。

2.给定命题公式A,与A等值的主合取范式称作A的主合取范式。

3.即仅由有限个极大项构成的合取范式称为主合取范式。

4.求给定命题公式A的主合取范式的步骤:

1).求出A的一个合取范式A';

2).若A'的某析取式B中不含命题变项pi或其否定¬pi,则将B展成如下式:B≡B∨(pi∧¬pi)≡(pi∨B)∧(B∨¬pi)

3).将重复出现的命题变项、重言式及重复出现的极大项都“消去”

4).将极大项按由小到大的顺序排列,并用∏表示之。如M1∧M2∧M5用∏(1.2,5)表示

5.定理(主析取范式定理)

任一含有n个命题变项的公式,都存在唯一的与之等值的且恰仅含这n个命题变项的主析取范式。

6.定理(主合取范式定理)

任一含有n个命题变项的公式,都存在唯一的与之等值的且恰仅含这n个命题变项的主合取范式。

7.主析取范式的用途

• 判断两命题公式是否等值

由于任何命题公式的主析取范式都是唯一的,因而若A≡B,说明A与B有相同的主析取范式反之,若A,B有相同的主析取范式,必有A≡B.

• 判断命题公式的类型

设A是含n个命题变项的命题公式

☝A为重言式,当且仅当A的主析取范式中含全部2ⁿ个极小项

☝A为矛盾式,当且仅当A的主析取范式中不含任何极小项即为空公式

☝若A的主析取范式中至少含一个极小项,则A是可满足式

• 求命题公式的成真和成假赋值

在上例(2)中(p→q)∧q≡∑(1.3)"FT","TT"是成真赋值,"FF","TF"是成假赋值

2.4命题联结词的完备集

1.设C是一个联结词的集合,如果任何由n个命题变项构成的命题公式都存在仅包含C中联结词的等值的公式,则称C是完备的联结词集合,或说C是联结词的完备集

2.设C是一个联结词的集合,其中可由C中的其它联结词定义的联结词称作冗余联结词

3.不含有冗余联结词的联结词完备集称作极小完备集

4.定理:如果一个联结词完备集S₁中的所有联结词都可由一个联结词集合S₂定义,则S₂也是联结词完备

5.定理:下述联结词集合都是完备集：

• (a)S₁={~(¬),∧,∨}

• (b)S₂={~,∧}

• (c)S₃={~,∨}

• (d)S4={~,→}

6.证明  S₁={~(¬),∧,∨}是完备集

• 任何由n个命题变项构成的命题公式都与唯一的一个主析取范式等值,而在主析取范式中仅含联结词~(¬),∧,∨。所以{~(¬),∧,∨}是联结词的完备集

3.命题逻辑的推理理论

3.1命题逻辑的推理

1.推理是从前提推出结论的思维过程

2.前提或称假设是指已知的命题公式A1,A2,...An

3.结论 是从前提出发应用推理规则推出的命题公式B

4.正确的推理或有效的推理即是指A1∧A2∧...∧An→B是重言式

5.此时称B是A1,A2,...AN的逻辑推论或有效结论

6.解推理问题的基本方法是:

• 将命题符号化
• 写出前提、结论和推理的形式结构
• 对推理形式的正确性进行判断

这里考虑的是推理形式结构的有效性,而不是结论的正确性。

7.判断一个推理形式是否正确,从定义上讲就是判断一个蕴涵式是否是重言式,

8.判定公式类型

• 真值表法
• 等值演算法
• 主析取范式法

9.采用判定公式类型的方法来判断推形式的正确与否具有一般性、广泛性的优点,但不足也很明显:

不能直观看出由前提A到结论B的推演过程，而且也难于推广到谓词逻辑中使用

10.建立推理演算的证明方法(亦称演绎法)

• 从前提A1,A2,...An出发
• 配合使用基本推理公式和几条推理规则
• 逐步推演出结论B

11.主要的推理规则

a)前提引入

在证明的任何步上,都可引入前提

b)结论引入规则

在证的任何步骤上。证明的结论都可以作为后续证明的前提

c）代入规则

与命题逻辑等值演算中的代入规则相同

d）置换规则

在证明的任何步骤上:命题公式中的任何子命题公式都可以用与之等值的命题公式置换

4.一阶逻辑基本概念

4.1谓词与量词

1.个体词：是一个命题里表示思维对象的词,表示独立存在的具体或抽象的客体

2.具体的、确定的个体词称为个体常项,一般用a,b,c表示

3.抽象的、不确定的个体词称为个体变项,一般用x,y,z表示

4.个体变项的取值范围称作个体域或论域

5.宇宙间一切事物组成的个体域称作全总个体域

6.表示个体词性质或相互之间关系的词称作谓词

7.如果命题里只有一个个体词,这时表示该个体词性质或属性的词便称为谓词。这是一元(目)谓词,以P(x),Q(x),表示。

8.例：

•  Human(Socrates)
•  Mortal(Socrates)

9.如果在命题里的个体词多于一个,那么表示这几个个体词间的关系的词称作谓词。这是多元(目)谓词,有n个个体的谓词P(x1…,xn)称n元(目)谓词,以P(x,y),Q(x,y),R(x,y,z),...表示。

10.例：

 Greater (x,y)

•  Equal (x,y)
•  Friend(俞伯牙,钟子期)

11.准确地讲,谓词P(x),Q(x,y),...是命题形式而不是命题

• 因为既没有指定谓词符号P,Q的含义,而且个体词x,y也是个体变项而不代表某个具体的事物,从而无法确定P(x).Q(x,y)的真值
• 仅当赋予谓词确定含义,并且个体词取定为个体常项时,命题形式才化为命题。

12.用来表示个体数量的词是量词,给谓词加上量词称作谓词的量化

13.可看作是对个体词所加的限制、约束的词,但不是对数量一个、二个、三个...的具体描述,而是讨论两个最通用的数量限制词:

• 全称量词 

• 存在量词

4.2谓词公式及分类

1.谓词逻辑中的谓词公式（wff）递归地定义为:

(1)命题常项、命题变项和原子谓词公式(不含联结词的谓词)是谓词公式:

(2)如果A是谓词公式,则~A也是谓词公式

 (3)如果A和B是谓词公式,则由逻辑联结词联结A和B的符号串也是谓词公式,

(4)若A是谓词公式,且A中无"x及$x出现,则("x)A(x)，($x)A(x)也是谓词公式:

(5)只有有限次地应用(1)-(4)构成的符号串才是谓词公式。

2.谓词公式也称为合式公式,简称公式

3.例：

4.类似于命题逻辑中对命题公式进行的真值指派,可以对谓词逻辑公式赋予不同的解释:

☝ 谓词公式的一个解释由下面4部分组成:

• 非空的论域D;
• D中一部分特定元素;
• D上一些特定的函数;
•  D上一些特定的谓词。

5.解释规定了相应的个体常项、个体变项、函数符号及谓词符号的具体意义,以及个体变项的取值范围

6.如果两个解释的四个组成部分中至少有一部分不同,则这两个解释是不同的

 7.一个公式可以用不同的解释给定含义,一个解释可以对多个不同的公式

8.类似于命题逻辑,也可以对谓词公式进行分类:

• 设A为一个谓词公式,若A在任何解释下真值均为真,则称A为普遍有效的公式或逻辑有效式，例：("x)P(x)→P(y)
• 设A为一个谓词公式,若A在任何解释下真值均为假,则称A为不可满足的公式或矛盾式，例： ("x)(P(x)∧~P(x))； ("x)P(x)∧($x)~P(y)
• 设A为一个谓词公式,若至少存在一个解释使A为真,则称A为可满足的公式

9.谓词逻辑的判定问题:

• 定理(丘奇图灵定理)

        对任一谓词公式而言,没有一个可行的方法判明它是否是普遍有效的。即谓词逻辑是不可判定的。但是谓词公式的某些子类是可判定的

10.设命题公式A0含命题变项P1,P2,...,Pn,用n个谓词公式A1,A2,...,An分别处处代换P1,P2,…Pn,所得公式A称为A0的代换实例。

■例：P(y)→Q(z), ("x)P(x)→($x)Q(x)都是命题公式p→q的代换实例。

• 定理

  命题公式中的重言式的代换实例都是逻辑有效式,在谓词公式中可仍称为重言式;命题公式中的矛盾式的代换实例都是矛盾式。

■例

• 设A为谓词公式,B为A中的一个连续的符号串,且B为谓词公式,则称B为A的子公式

• 在辖域中x的一切出现均称为约束出现,受指导变项所约束

• 所有约束出现的变项称为约束变项

• 在A中除了约束变项外出现的变项均称为自由变项,不受指导变项的约束

4.3.自然语句形式化

4.3.1基本方法

1. 首先要将问题分解成一些原子命题和逻辑联结符

2.  之后分解出各个原子命题的个体词、谓词和量词

3.  按照合式公式的表示规则翻译出自然语句

■所有的素数都是正奇数

■一般地讲,"所有的A是B”、“是A的都是B”、“一切A都是B的。”这类语句的形式描述只能使用“→”而不能使用“∧”

■没有正偶数是素数

■一般地讲,“有的A是B。”这类语句的形式描述只能使用“∧”而不能用“→”。

■所有正整数都是正偶数或者正奇数

  

■所有正整数都是正偶数,或者所有正整数都是正奇数

 

■这二者是不“等价”的!

■对于任一个正整数而言,都存在比它大的正整数

• 存在一个正整数,大于任何正整数

■这二者是不“等价”的!

5.谓词逻辑的等值演算

■设A,B是两个谓词公式,若A ↔B是普遍有效的公式,则称A与B等值,记作A☰B。

■类似于命题逻辑,两个谓词公式A，B等值当且仅当在任何解释下,A和B的真值都相同。

■谓词逻辑的等值演算仍是以基本等值式为基础,应用等值演算规则,逐步推演

■谓词逻辑中的基本等值式主要分两类:

• 其一是从命题公式移植来的等值式,即命题逻辑中基本等值式的代换实例

• 另一类是谓词逻辑所特有的等值式,与量词有关

5.1消去量词等值式

5.2量词否定等值式/德摩根律

5.3量词辖域收缩与扩张等值式

设A(x)是含x自由出现的公式，谓词公式B中不含x的出现，则有：

5.4量词分配等值式

• 设A(x),B(x)是含x自由出现的谓词公式，则有：

• 设A(x,y)是含x,y自由出现的谓词公式，则有：

• 这组等值式表明相同量词与排列的次序无关,但是对于不同量词,不能随意更换次序,即("x)($y)A(x,y)与($y)("x)A(x,y)不等值

■谓词逻辑的等值演算规则

5.5置换规则

☝代替规则

5.6换名规则

■同一个个体变项符号既有约束出现又有自由出现,容易引起概念上的混淆

■为避免这种情况,引入了下面的代替规则和换名规则,使得

• 同一个个体变项符号在一个公式中只呈现一种形式,要么为约束出现,要么为自由出现

• 同时使不同的量词所约束的个体变项不同名,便于计算机处理

■(代替规则)将谓词公式A中某个自由出现的个体变项的所有自由出现改成A中未曾出现的某个个体变项符号,其余部分不变,记所得谓词公式为A',则A☰A'

■(换名规则)将谓词公式A中某量词的指导变项及其在辖域内的所有约束出现改成该量词辖域内未曾出现的某个个体变项符号,其余部分不变,记所得谓词公式为A',则A☰A'

■换名规则

6.前束范式与谓词逻辑的推理

■设A为一谓词公式,如果满足

1. 所有量词都位于该公式的最左边;

2. 所有量词前都不含否定词;

3. 量词的辖域都延伸到整个公式的末端,

则称A为前束范式

■前束范式的一般形式：

M为不含量词的公式，称作公式的基式或母式

■化前束范式的基本方法:

• 步骤1.消去谓词公式中的联结词→,↔;

• 步骤2.将谓词公式中的否定词~右移

• 步骤3.将谓词公式中的量词左移(使用量词分配等值式、量词辖域收缩与扩张等值式),必要时将变项改名

■定理（前束范式存在定理）

 任一谓词公式都存在与之等值的前束范式，但其前束范式并不唯一

■

■由于在谓词逻辑中不能使用真值表法,又不存在判别A→B是否普遍有效的一般方法,从而使用基本推理公式及推理规则是谓词逻辑的基本推理演算方法

■基本推理公式

■而所使用的推理规则除命题逻辑的推理演算中用到的几条基本推理规则外,还包括四条有关量词的消去和引入规则:

• 全称推广规则/全称量词引入规则(UG)

• 全称举例规则/全称量词消去规则(US)

• 存在推广规则/存在量词引入规则(EG)

• 存在举例规则存在量词消去规则(ES)

■全称量词消去规则:

其中y是论域中一个体

■意指如果所有的x∈D都具有性质P,那么D中任一个体y必具有性质P

■该规则使用的条件是:

1. 第一式中,取代x的y应为任意的不在P(x中约束出现的个体变项

2. 第二式中,a为任意个体常项

3. 用y或a去取代P(x)中自由出现的x时,必须在x自由出现的一切地方进行取代

■全称量词引入规则:

■其中y是论域中任一个体。意指如果任一个个体y∈D都具有性质P,那么D中所有个体x都具有性质P

■该规则使用的条件是:

1. 无论P(y)中自由出现的个体变项y取何值,P(y)应该均为真。

2. 取代自由出现的y的x不能在P(v)中约束出现。

■存在量词引入规则:

  

其中a是论域中一个体常项。意指如果有个体常项a具有性质P,那么($x)P(x)必真。

■该规则使用的条件是:

1. a是特定的个体常项

2. 取代a的x不在P(a)中出现过

■存在量词消去规则:

■其中a是论域中的一个个体常项。意指如果论域D中存在某个体具有性质P,那么必有特定个体a具有该性质P

■该规则使用的条件是:

1. a是使P为真的特定的个体常项

2. a不在P(x)中出现

3. P(x)中没有其它自由出现的个体变项

4. a是在推导中未曾使用过的

■使用推理规则的推理演算过程是:

• 步骤1.首先将以自然语句表示的推理问题形式化,转换为谓词公式

• 步骤2.若不能直接使用基本的推理公式则消去量词

• 步骤3.在无量词下使用规则和公式进行推理

• 步骤4.最后再引入量词,得到相应结论

特别注意如下两点:

(1)在既需要消去存在量词又需要消

去全称量词时,一般要先使用存在量词消去规则,再使用全称量词消去规则。

(2)使用US,UG,ES,EG规则时,量词的辖域都必须延伸到整个公式的末端。

换言之,在含有多个量词的谓词推理中,使用消去规则应该按照从左到右的顺序,而引入规则的使用应该按照从右到左的顺序。