平面直角坐标系中的旋转公式_难点解析丨空间直线、平面平行的判定及其性质...

在高考数学里，空间直线与平面的平行有关的知识内容和题型，一直是近几年高考命题的热点，成为立体几何重要的基础考点。如何巧妙快速的判定空间直线与平面平行位置关系，如何在平面内寻找一条直线，探索该直线与平面平行等，这些问题一直是常见的热点问题。 重点考查考生的空间想象能力、计算能力、推理论证能力，以及转化思想的应用。 跟着包Sir一起来看看动态教辅里是如何来帮助大家学习这一部分知识的吧~ 小编乱入 1 互动启思 题型1 直线的倾斜角与斜率、直线方程 引言 掌握基础知识，养成画图的习惯，培养平面几何的想象能力是解题的关键. 例题1  经过点M(1，1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为(　　) A．x＋y－2＝0 B．x＋y－1＝0 C．x＝1或y＝1 D．x＋y－2＝0或x－y＝0 互动启思 一点呈析 答案: D 解析: 当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为 ，即x－y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为 ，代入M(1，1)，解得a＝2，所以直线的方程为＋＝1，即x＋y－2＝0.综上所述，所求直线的方程为x＋y－2＝0或x－y＝0.故选 例题2  已知直线l平分圆C：x²＋y²－6x＋6y＋2＝0的周长，且直线l不经过第三象限，则直线l的倾斜角θ的取值范围为(　　) 互动启思 一点呈析 答案: A 解析: 圆C：x²＋y²－6x＋6y＋2＝0的标准方程为(x－3)²＋(y＋3)²＝16，故直线l过圆C的圆心(3，－3)．因为直线l不经过第三象限，所以 ，故选A. 题型2 两条直线的位置关系 引言 经常会涉及到直线的平行和垂直问题，所以要注意直线平行、垂直的时候，直线的解析式所满足的条件，并且要特别注意不要多解. 例题1 “m＝－1”是“直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋3＝0垂直”的   (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 互动启思 一点呈析 答案：A 解析：设p：m＝－1；q：直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋3＝0垂直．将m＝－1代入两直线方程，它们的斜率之积为－1，故两直线垂直，从而由p可以推出q；但当m＝0时，两直线也垂直，故由q不一定能推出p.因而p是q的充分不必要条件．故选A. 例题2  已知直线l： ，M是l上一动点，过M作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B，则在A，B连线上，且满足 的点P的轨迹方程是             ． 互动启思 一点呈析 答案：3x＋2y－4＝0 解析：设P(x，y)为轨迹上任一点，A(a，0)，B(0，b)． ∵ ，∴ ∵点M在直线l上，∴ ， 整理得3x＋2y－4＝0， 即3x＋2y－4＝0为点P的轨迹方程． 2 知识助攻 1.直线的倾斜角和斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义：平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按 逆 时针方向旋转到和直线重合时所转的 最小正角 α称为直线的倾斜角．规定：直线与x轴平行或重合时，直线的倾斜角为 0°  ②范围：倾斜角α的范围是  0°≤α<180°.  (2)直线的斜率 ①定义： 当直线的倾斜角α≠90°时，直线的倾斜角α的 正切值 叫做这条直线的斜率，常记作k＝ tanα ； 当直线的倾斜角α＝90°时，直线的斜率 不存在 ． ②过两点的直线的斜率公式： 过两点P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)(x₁≠x₂)的直线的斜率公式为k＝ . 若x₁＝x₂，则直线P₁P₂的倾斜角为90°，斜率不存在。 ③范围： 直线的斜率的范围为 R                                           . 敲黑板 (1)不要忽视“直线的斜率不存在”这一情况．在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k＝tanα的单调性，如图所示． (2)由直线的斜率k求倾斜角α的取值范围时，要对应正切函数的图像来确定，并注意图像的不连续性和函数的定义域．如：由－1≤k≤1，得. 2. 直线的方程 (1) 直线的五种形式 (2) 求直线方程常用的方法 ①根据已知条件，设出适当的直线方程； ②把已知条件构造成含待定系数的方程(组)； ③求解待定系数； ④将求得的系数代入设出的直线方程． 敲黑板 若使用斜截式或点斜式设直线方程时，应先讨论斜率k是否存在．同理，在使用截距式前要讨论截距是否存在，是否为0. 3.两条直线的位置关系 (1)两条直线的位置关系 直线l₁：y＝k₁x＋b₁与l₂：y＝k₂x＋b₂， 直线l₃：A₁x＋B₁y＋C₁＝0与l₄：A₂x＋B₂y＋C₂＝0的位置关系如下表： (2)两条直线的交点坐标 当两条直线相交时，两直线的方程联立的方程组的解即为交点坐标． (3)距离公式 ①两点间的距离： 平面上两点P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)之间的距离公式为|P₁P₂|＝ ②点到直线的距离： 平面上的点P(x₀，y₀)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式为d＝ ③两条平行直线间的距离： 直线l₁：Ax＋By＋C₁＝0与l₂：Ax＋By＋C₂＝0之间的距离公式为d＝ 4.两条直线平行与垂直的判定及应用 (1)两条直线平行或垂直的判定方法 <1>已知两直线的斜率一定存在 ①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在相应坐标轴上的截距不相等； ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1. <2>两直线的斜率可能不存在 若两直线斜率不存在，当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行；否则，两直线重合． 若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两直线互相垂直． <3>已知两直线的一般方程 直接应用有关结论判定；也可利用直线方程求出斜率(或判定出斜率不存在)，转化为<1><2>中的情形进行判定． (2)两条直线平行与垂直的应用

• 根据直线的位置关系求参数值

当直线方程中的系数含有参数时，参数的不同取值决定了直线的不同位置，因此应对参数的取值进行分类讨论，一般分为斜率存在和斜率不存在两种情况，再根据不同情况下应满足的关系，列式求解．或直接应用“知识划重点”中l₃，l₄所满足的条件列式求解． 敲黑板 根据位置关系转化为等量关系(不等关系)时，要注意等价性．如两直线平行⇔k1＝k2且b1≠b2(或A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0)，此时不要只得出k1＝k2(或A1B2－A2B1＝0)．另外，求出参数值时注意代回检验，避免产生增根．

• 根据直线的位置关系求解直线方程

解答这类题通常有两种方法： ①根据l₁∥l₂⇒k₁＝k₂，l₁⊥l₂⇒k₁·k₂＝－1确定待求直线的斜率，再由点斜式得到直线的方程． ②由两直线平行(垂直)的方程特征设出方程，再由待定系数法求解． 5.两条直线的交点与距离 (1)求两直线的交点坐标 设两条直线的方程为l₁：A₁x＋B₁y＋C₁＝0，l₂：A₂x＋B₂y＋C₂＝0，则方程组 的解就是两条直线的交点坐标． ①若方程组有唯一解，则两条直线 相交 ，此解就是交点的坐标； ②若方程组无解，则两条直线 无公共点 ，此时两条直线 平行 ，反之亦成立． (2)距离公式的应用

• 求距离

应用距离公式求解即可． 敲黑板 ①求点到直线的距离时，必须把直线方程化为一般式Ax＋By＋C＝0. ②求两条平行直线间的距离时，一定要把直线方程中x，y的系数化成一致的．

• 已知距离求有关方程或有关量

借助距离公式首先建立方程(组)得出参数的值或满足的关系式，然后结合题中其他条件确定方程、点的坐标等． 敲黑板 若已知点到直线的距离求直线方程，用一般式可避免讨论．否则，应讨论斜率是否存在． 6.对称问题 (1) 点关于点对称 若点A(x₁，y₁)和点B(x₂，y₂)关于点C(a，b)对称，则由中点坐标公式得 从而可解． (2)直线关于点对称 方法1：根据两对称直线平行，求出已知直线上任一点的对称点，由点斜式可求对称直线的方程； 方法2：在已知直线上任取两点，分别求出两个对称点，由两点式可求得对称直线的方程. (3)点关于直线对称 若点A(x₁，y₁)和点B(x₂，y₂)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则满足方程组 进而求解 (4)直线关于直线对称 (1)若l₁∥l₂，l₁与l₂关于直线l对称，则可利用平行线间距离公式求解； (2)若l₁∩l₂＝A，l₁与l₂关于直线l对称，且点A在直线l上，求出直线l₁上任一点关于直线l的对称点B，由 两点式 可求得对称直线的方程． 敲黑板 点关于点的对称是基本问题，也是各种对称问题可转化的最终问题．抓住两点：一是“垂直”，两对称点连线与对称轴垂直；二是“平分”，两对称点连线段的中点在对称轴上． 声明：以上内容摘自包学习APP_动态教辅《 数学丨动态题型包 》，欢迎来包学习和更多小伙伴一起学习更多知识吧。 点击