fftw3图片傅里叶变换_Matlab基础操作：快速傅里叶变换的理解

本文分享一下有关Matlab中的快速傅里叶变换的使用和理解。

本文所关心的问题

• Matlab中FFT变换背后的公式是什么？
• 可以用来帮助解决什么样的数值计算问题？

我希望在使用FFT之前可以先将上述两个问题精确地理解清楚，这样在应用中就不会出现

我觉得是这样，程序却那样的

的问题了。

Matlab中的FFT

通过 help fft 命令，我们调出FFT帮助说明文档，其中就给出了具体计算了怎样的表达式

下面以 fft 为例来解释一下参数

• 输入：一个长度为
  的向量
• 输出：一个长度为
  的向量

精确的计算关系已经在上面的图片中给出了。

通过引入

上的等距剖分

我们来重新表达一下这两个式子

对应计算的数值问题

我们考虑计算

周期函数

的Fourier系数的问题。

公式如下，对

我们可以通过数值积分来近似计算这个积分。 例如使用梯形公式。

选取积分区间

的等距剖分

由等距剖分性质，我们知道

使用梯形公式，连续的积分可以在数值上用下面的方式近似计算

红色线条下方面积是函数的精确积分。各浅色的梯形面积之和是梯形方法数值积分的近似解。

因为周期性，实际上，上面的表达也可以改写成左端点的矩形公式

对应关系

这样我们就和Matlab中FFT的公式对应上了。

如果输入的

是

上等距剖分节点的函数值

那么利用Matlab中的 fft 函数生成的

就满足

当然，FFT的好处就是快速的帮你计算一堆傅里叶系数。

如果向量

的长度为

的话，并且是上面提到的周期函数

在一个周期上的等距采样的话

使用FFT得到的向量分别对应傅里叶系数

在

上的值的数值近似。

例子

作为例子，我们选取周期函数为

我们知道，它的傅里叶系数当

时，是下面的表达式

因此，我们用下面的程序来计算快速傅里叶变换

N = 1000;
x = linspace(0,2*pi,N+1);
x = x(1:end-1);
y = exp(1i*300*x);
frequency = fft(y);
plot(1/N*real(frequency),'-o','LineWidth',2,'MarkerIndices',[301]);

我们绘制一下FFT变换后的

的图像

我们将

这个因子除去，得到傅里叶系数的近似值。绘制下图

我们看到，向量

的第301个分量上取值为

，其它分量取值为

，符合傅里叶系数的结论。

离散傅里叶变换的周期性

FFT实际上进行的是离散傅里叶变换。因为

的取值关系

所以离散傅里叶变换

满足

。

因此，如果我们修改刚才的代码

N = 1000;
x = linspace(0,2*pi,N+1);
x = x(1:end-1);
y = exp(-1i*300*x);
frequency = fft(y);
plot(1/N*real(frequency),'-o','LineWidth',2,'MarkerIndices',[701]);

将采样的函数从

修改成

，那么得到的结果就是在第701个分量的位置有一个脉冲。

为什么是701？

因为

因此当

，

时，上面离散傅里叶变换的频率为

代码中的细节

x = linspace(0,2*pi,N+1);
x = x(1:end-1);

这两行是怎么回事？

首先我们的采样需要保证

• 采样出来的向量
  长度为
• 周期函数在
  和
  点值相同，我们取样的时候，需要舍去最右侧端点

fftshift

上面的例子告诉我们，对于离散傅里叶变换来说，下面两个模态计算出来的结果是相同的

因此，在 fft 中，我们计算的是“频率”取值为

的模值，我们可以把利用shift来把（

是偶数情况）

部分转移成

注意这部分对应向量

指标为

部分。因为Matlab计数从

开始

这正是 fftshift 实现的效果

Xeven = [1 2 3 4 5 6];
fftshift(Xeven)

>> ans = 
>>         4     5     6     1     2     3

总结

对一个

周期函数

，先做一个

样本的等距采样

• 采样需要等距，否则可以使用非一致快速傅里叶变换
• 采样包含左端点不包含右端点，不然结果差异很大

执行 fft ，得到序列

的DFT在

模态下的模值。

可以通过 fftshift 转换到

，分别逼近于对应模态的傅里叶系数