Pytorch-Geometric 中的 Message Passing 解析

Pytorch-Geometric 中的 MessagePassing

图中的卷积计算通常被称为邻域聚合或者消息传递 (neighborhood aggregation or message passing). 定义 ${\mathbf{x}}_i^{(k-1)}\in R^F$ 为节点 $i$ 在第 $(k-1)$ 层的特征, ${\mathbf{e}}_{j,i}$ 表示节点 $j$ 到 节点 $i$ 的边特征，在 GNN 中消息传递可以表示为
$${\mathbf{x}}_i^{(k)}={\gamma }^{(k)}\left({\mathbf{x}}_i^{(k-1)},{\square }_{j\in N(i)}{\varphi }^{(k)}\left({\mathbf{x}}_i^{(k-1)},{\mathbf{x}}_j^{(k-1)},{\mathbf{e}}_{j,i}\right)\right)$$
其中 $\square$ 表示具有置换不变性并且可微的函数，例如 sum, mean, max 等, $\gamma$ 和 $\varphi$ 表示可微函数。

在 PyTorch Gemetric 中，所有卷积算子都是由 MessagePassing 类派生而来，理解 MessagePasing 有助于我们理解 PyG 中消息传递的计算方式和编写自定义的卷积。在自定义卷积中，用户只需定义消息传递函数 $\varphi$ message()， 节点更新函数 $\gamma$ update() 以及聚合方式 aggr='add', aggr='mean' 或则 aggr=max. 具体函数说明如下：

• MessagePassing(aggr='add', flow='source_to_target', node_dim=-2) 定义聚合计算的方式 ('add', 'mean' or max ) 以及消息的传递方向 (source_to_target or target_to_source ). 在 PyG 中，中心节点为目标 target，邻域节点为源 source. node_dim 为消息聚合的维度
• MessagePassing.propagate(edge_index, size=None, **kwargs): 该函数接受边信息 edge_index 和其他额外的数据来执行消息传递并更新节点嵌入。
• MessagePassing.message(...): 该函数的作用是计算节点消息，就是公式中的函数 $\varphi$ . 如果 flow='source_to_target' ，那么消息将由邻域节点 $j$ 传向中心节点 $i$ ；如果 flow='target_to_source'，消息则由中心节点 $i$ 传向邻域节点 $j$ . 传入参数的节点类型可以通过变量名后缀来确定，例如中心节点嵌入变量一般以 _i 为结尾，邻域节点嵌入变量以 x_j 为结尾
• MessagePassing.update(arr_out, ...): 该函数为节点嵌入的更新函数 $\gamma$ , 输入参数为聚合函数 MessagePassing.aggregate 计算的结果

为了更好的理解 PyG 中 MessagePassing 的计算过程，我们来分析一下源代码。

class MessagePassing(torch.nn.Module):

    special_args: Set[str] = {
        'edge_index', 'adj_t', 'edge_index_i', 'edge_index_j', 'size',
        'size_i', 'size_j', 'ptr', 'index', 'dim_size'
    }

    def __init__(self, aggr: Optional[str] = "add",
                 flow: str = "source_to_target", node_dim: int = -2):

        super(MessagePassing, self).__init__()

        self.aggr = aggr
        assert self.aggr in ['add', 'mean', 'max', None]

        self.flow = flow
        assert self.flow in ['source_to_target', 'target_to_source']

        self.node_dim = node_dim

        self.inspector = Inspector(self)
        self.inspector.inspect(self.message)
        self.inspector.inspect(self.aggregate, pop_first=True)
        self.inspector.inspect(self.message_and_aggregate, pop_first=True)
        self.inspector.inspect(self.update, pop_first=True)

        self.__user_args__ = self.inspector.keys(
            ['message', 'aggregate', 'update']).difference(self.special_args)
        self.__fused_user_args__ = self.inspector.keys(
            ['message_and_aggregate', 'update']).difference(self.special_args)

        # Support for "fused" message passing.
        self.fuse = self.inspector.implements('message_and_aggregate')

        # Support for GNNExplainer.
        self.__explain__ = False
        self.__edge_mask__ = None

在初始化函数中，MessagePassing 定义了一个 Inspector . Inspector 的中文意思是检查员的意思，这个类的作用就是检查各个函数的输入参数，并保存到 Inspector的参数列表字典中 Inspector.params中。如果 message的输入参数为 x_i, x_j，那么Inspector.params['message']={'x_i': Parameter, 'x_j': Parameter} (注：这里仅作示意，实际 Inspector.params['message'] 类型为 OrderedDict). Inspector.implements 检查函数是否实现.

MessagePasing 中最核心的是 propgate 函数，假设邻接矩阵 edge_index 的类型为 Torch.LongTensor，消息由 edge_index[0] 传向 edge_index[1] ，代码实现如下

def propagate(self, edge_index: Adj, size: Size = None, **kwargs):
    # 为了简化问题，这里不讨论 edge_index 为 SparseTensor 的情况，感兴趣的可阅读 PyG 原始代码

    size = self.__check_input__(edge_index, size)
    coll_dict = self.__collect__(self.__user_args__, edge_index, size,
                                 kwargs)

    msg_kwargs = self.inspector.distribute('message', coll_dict)
    out = self.message(**msg_kwargs)

    aggr_kwargs = self.inspector.distribute('aggregate', coll_dict)
    out = self.aggregate(out, **aggr_kwargs)

    update_kwargs = self.inspector.distribute('update', coll_dict)
    return self.update(out, **update_kwargs)        

在这段代码中，首先是检查节点数量和用户自定义的输入变量，然后依次执行 message, aggregate 和 update 函数。如果是自定义图卷积，一般会重写 message 和 update，这一点随后再以 GCN 为例解释，这里首先来看一下 aggregate 的实现

def aggregate(self, inputs: Tensor, index: Tensor,
              ptr: Optional[Tensor] = None,
              dim_size: Optional[int] = None) -> Tensor:
    if ptr is not None:
        ptr = expand_left(ptr, dim=self.node_dim, dims=inputs.dim())
        return segment_csr(inputs, ptr, reduce=self.aggr)
    else:
        return scatter(inputs, index, dim=self.node_dim, dim_size=dim_size,
                       reduce=self.aggr)

ptr 变量是针对邻接矩阵 edge_index 为 SparseTensor的情况，此处暂且不论。inputs为 message计算得到的消息， index 就是待更新节点的索引，实际上就是 edge_index_i. 聚合计算通过 scatter 函数实现。scatter 具体实现参考链接

下面以 GCN 为例，我们来看一下 MessagePassing 的计算过程。GCN 的计算公式如下
$${\mathbf{x}}_i^{(k)}=\sum _{j\in \mathcal{N}(i)\cup \{i\}}\frac{1}{\sqrt{\mathrm{deg}(i)}\cdot \sqrt{\mathrm{deg}(j)}}\cdot \left(\mathbf{\Theta }\cdot {\mathbf{x}}_j^{(k-1)}\right),$$
实际计算工程可以分为下面几步：

1. 在邻接矩阵中增加自循环，即把邻接矩阵的对角线上的元素设为1
2. 对节点特征矩阵做线性变换
3. 计算节点的归一化系数，也就是节点度乘积的开方
4. 对节点特征做归一化处理
5. 聚合（求和）节点特征得到新的节点嵌入

代码如下

import torch
from torch_geometric.nn import MessagePassing
from torch_geometric.utils import add_self_loops, degree

class GCNConv(MessagePassing):
    def __init__(self, in_channels, out_channels):
        super(GCNConv, self).__init__(aggr='add')  # "Add" aggregation (Step 5).
        self.lin = torch.nn.Linear(in_channels, out_channels)

    def forward(self, x, edge_index):
        # x has shape [N, in_channels]
        # edge_index has shape [2, E]

        # Step 1: Add self-loops to the adjacency matrix.
        edge_index, _ = add_self_loops(edge_index, num_nodes=x.size(0))

        # Step 2: Linearly transform node feature matrix.
        x = self.lin(x)

        # Step 3: Compute normalization.
        row, col = edge_index
        deg = degree(col, x.size(0), dtype=x.dtype)
        deg_inv_sqrt = deg.pow(-0.5)
        deg_inv_sqrt[deg_inv_sqrt == float('inf')] = 0
        norm = deg_inv_sqrt[row] * deg_inv_sqrt[col]

        # Step 4-5: Start propagating messages.
        return self.propagate(edge_index, x=x, norm=norm)

    def message(self, x_j, norm):
        # x_j has shape [E, out_channels]

        # Step 4: Normalize node features.
        return norm.view(-1, 1) * x_j

在 forward 函数中，首先是给节点边增加自循环。设输入变量如下

edge_index = torch.tensor([[0, 0, 2], [1, 2, 3]], dtype=torch.long)
x = torch.rand((4, 3)) 
conv = GCNConv(3, 8)

注意到默认消息传递方向为 source_to_target，此时edge_index[0]=x_j 为 source, edge_index[1]=x_i 为 target. 在 GCN 中，第一步是增加节点的自循环，add_self_loops 计算前后变化如下

# before add_self_loops
# edge_index=
tensor([[0, 0, 2],
        [1, 2, 3]])
# after add_self_loops
# edge_index=
tensor([[0, 0, 2, 0, 1, 2, 3],
        [1, 2, 3, 0, 1, 2, 3]])
# norm=
tensor([0.7071, 0.7071, 0.5000, 1.0000, 0.5000, 0.5000, 0.5000]

此处的 propagate 的输出参数由 edge_index, x, norm , edge_index 是 propagete 必须输入的参数，x, norm 为用户自定义参数。在 __collect__ 会根据变量名称来收集 message 需要的输入参数。在 GCN 中，norm 保持不变，x 将被映射到 x_j ，并且经过 __lift__ 函数，其值也会发生变化。__lift__ 函数如下

def __lift__(self, src, edge_index, dim):
    if isinstance(edge_index, Tensor):
        index = edge_index[dim]
        return src.index_select(self.node_dim, index)

在本例中，输入的特征 shape=[4, 8]，经过 __lift__ 后，节点特征 shape=[7, 8] . 经过 message 计算后，就可以执行 aggregate 和 update 了。