矩阵分析与计算学习记录-矩阵分解

本章重点内容：

满秩分解：存在性、方法

三角分解：Doolittle分解、两种求解方法、cholesky分解

QR分解：定义、Householder变换、Givens变换、Schmidt正交化方法求QR分解、上Hessenberg矩阵

奇异值分解

1 满秩分解

1.1满秩分解的基本概念和存在性

 

 

1.2 满秩分解的方法

下面看个例子，对矩阵进行满秩分解

1.3 其他定理

 

2 矩阵三角分解（LU分解）

矩阵的三角分解是最基本的一种矩阵分解,它是将一个矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积. 矩阵的三角分解是最基本的一种矩阵分解，它是将一个矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积.

 2.1 上三角矩阵和下三角矩阵

• 三角分解是方阵A的分解 
• 如果主对角线上的元素都是1，存在单位下三角矩阵和单位上三角矩阵。

 

 2.2 LU分解、LDU分解、Doolittle分解、Crout分解

 从Doolittle分解可以求出LDU分解和Crout分解

2.2.1 LU分解不唯一性

2.2.2 LDU分解 

2.2.3 Doolittle分解及两种求解方法

 

可以只研究Doolittle分解

 

求Doolittle分解的两种方法 

 

 

 2.2.4 选列主元的Doolittle分解

下面看一道例题

 

2.3 Cholesky分解

  

 2.3.1 Cholesky分解方法

2.3.2 改进的Cholesky分解方法 

 

3 QR分解

3.1 QR分解的定义

 条件数变化问题

 解决办法

 QR分解

QR（正交三角）分解法是求一般矩阵全部特征值的最有效并广泛应用的方法，一般矩阵先经过正交相似变化成为Hessenberg矩阵，然后再应用QR方法求特征值和特征向量。它是将矩阵分解成一个正规正交矩阵Q与上三角形矩阵R，所以称为QR分解法，与此正规正交矩阵的通用符号Q有关。

如果实（复）非奇异矩阵A能够化成正交（酉）矩阵Q与实（复）非奇异上三角矩阵R的乘积，即A=QR，则称其为A的QR分解。

3.2 Householder变换

3.2.1 几何观点

 矩阵消元的几何观点

 镜面反射

 

 

 3.2.2 Householder矩阵

 w是单位列向量是指模长为1

 3.2.3 Householder矩阵的性质

 

 三个定理

 3.2.4 Househloder变换的例题

 

 

 

 3.2.5 用HouseHolder变换进行QR分解

  ​​​

 

  有时候会有些规定，故进行QR矩阵的转换

 

 3.3 Givens变换

 3.3.1 Givens旋转定义

 初等旋转变换或者说是吉文斯(Givens)变换是一种正交变换，经过多次吉文斯(Givens)变换可以把矩阵转换成上三角形式，是一种常用的QR分解方式。

 

 3.3.2 性质

 

 3.3.3 应用

 

 3.3.4 Givens变换的例题

 

 3.3.5 用Givens变换进行QR分解

 

 

 

3.4 施密特进行QR分解

 

3.5 上Hessenberg矩阵

 

 3.5.1 用Householder变换为Hessenberg矩阵

 

 

 

 

  3.5.2 用Givens变换为Hessenberg矩阵

 

 4 矩阵的奇异值分解

 

 

 4.1 奇异值分解定理

 

 

4.2 求奇异值分解 

 约化的奇异值分解

 满奇异值分解

4.3 奇异值分解讨论矩阵的性质