四、矩阵分解---三角分解Doolittle、满秩分解

四、矩阵分解—三角分解Doolittle、满秩分解

1. 三角分解–Doolittle分解

设 A ∈ Cn×n，如果存在下三角矩阵 L ∈ Cn×n 和上三角矩阵 U ∈ Cn×n 使 得 A = LU，则称 A 可以做三角分解; 其中若L 是对角元素为1的下三角矩阵（单位下三角矩阵），则称该三角分解为 Doolittle 分解（或LU分解）

若其前n -1阶顺序主子式均不为0，则A存在Doolittle分解A = LU， 此外，若A非奇异，则分解唯一

2. 矩阵分解–满秩分解

满秩分解是将非零矩阵分解为一个列满秩矩阵与一个行满秩矩阵之积，A = F G

hermite标准形

• 一个秩为r的矩阵A可通过初等行变换，化为Hermite标准形H，且H的前r行线性无关，即存在满秩矩阵P，使得PA=H，其中H为A的Hermite标准形，P为变换矩阵

设 A ∈ Cm×n r (r > 0)，且A的Hermite标准形为H，取 A 的第 j1, j2, · · · , jr 列构成 F， 取H的前r行构成G， 则A = F G 即为A的一个满秩分解。 F 为极大线性无关组向量，G为极大线性无关组系数