吉文斯旋转

在数值线性代数中，吉文斯旋转（Givens rotation）是在两个坐标轴所展开的平面中的旋转。吉文斯旋转得名于华莱士·吉文斯，他在 1950 年代工作于阿贡国家实验室时把它介入到数值分析中。

矩阵表示

吉文斯旋转表示为如下形式的矩阵

这里的 c = cos(θ) 和 s = sin(θ) 出现在第 i 行和第k 行与第 i 列和第 k 列的交叉点上。就是说，吉文斯旋转矩阵的所有非零元定义如下：:

乘积 G(i,k,θ)^Tx 表示向量 x 在 (i,k)平面中的逆时针旋转 θ 弧度。

Givens 旋转在数值线性代数中主要的用途是在向量或矩阵中介入零。例如，这种效果可用于计算矩阵的QR分解。超过Householder变换的一个好处是它们可以轻易的并行化，另一个好处是对于非常稀疏的矩阵计算量更小。

稳定计算

当一个吉文斯旋转矩阵 G(i,j,θ)从左侧乘另一个矩阵 A 的时候，GA 只作用于A 的第 i 和 j 行。所以我们集中于下列问题。给出 a 和 b，找到c = cos θ 和 s = sin θ 使得

明确计算出 θ 是没有必要的。我们转而直接获取 c, s 和 r。一个明显的解是

但是为了避免上溢出和下溢出，我们使用不同的计算，采用比率 b/a (它是 tan θ)或它的倒数(Golub & Van Loan 1996)。如 Edward Anderson (2000) 在改进LAPACK 时发现的，前瞻数值考虑是连续性的。要完成它，我们要求r 是正数。

if (b = 0) then {c ← copysign(1,a); s ← 0; r ← abs(a)}
else if (a = 0) then {c ← 0; s ← copysign(1,b); r ← abs(b)}
else if (abs(b) > abs(a)) then
  t ← a/b
  u ← copysign(sqrt(1+t*t),b)
  s ← 1/u
  c ← s*t
  r ← b*u
else
  t ← b/a
  u ← copysign(sqrt(1+t*t),a)
  c ← 1/u
  s ← c*t
  r ← a*u

这是依据 IEEE 754r copysign(x,y) 函数写成的，它提供了安全和廉价的方式复制 y 的符号到 x。如果不能获得它，使用符号函数的x*sgn(y) 可作为替代。

注意这里的sgn定义为

而不是常用的

后者常在高级语言中作为标准库函数被提供，注意不要直接应用于本算法中。

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