图论相关概念及术语总结

前言:本文主要从数学角度,简单介绍了图论中的一些概念与术语,主要基于教材《图论及其应用》(北京邮电大学出版社)的前6章内容,如有错误,诚请指正


1.图的概念

1.1 图的定义

1.1.1 无向图相关定义

    顶点集/节点集:

        

            其中每个元素称为图G的一个顶点/节点

    边集:

         

            其中每个元素 是图G的一条边

    图:

        

            其中V(G)为顶点集,E(G)为边集合

1.1.2 有向图相关定义

    弧集:

         

            其中每个元素 为从 到 的一条弧

    弧相关概念:

        

        弧:ab,称为一条弧

        头:b,为弧ab的头

        尾:a,为弧ab的尾

        出弧:对a,弧ab是出弧

        入弧:对b,弧ab是入弧

    有向图:

        

            其中V(D)为顶点集,A(D)为弧集

    基础图:

        对于有向图,去掉弧的方向,端点不变,即得到基础图;有向图去掉方向

    定向图:

        对于无向图,为每条边指定一个方向,即得到定向图;无向图加方向

 

1.2 图的基本概念

1.2.1 基本概念

    阶:图G中顶点个数

            或   

    关联:

        

            边ab与顶点a/b相关联,顶点a/b与边ab相关联

    相邻:

        

            a与b相邻;a是b的邻点/邻居

    内/外邻点:

        

            a为b的内邻点;b为a的外邻点

            对于一个点,所有指向其的点为内邻点,所有由其指出的点为外邻点

    端点:

        

            a与b是ab的两个端点

    环:

        

            k是一个环,其两端点相同

    棱:

        

            边ab是一条棱,其两端点不同

    孤立点:

        不与任何顶点相邻的顶点

    重边/平行边:

        图论相关概念及术语总结_第1张图片

            边p与边q是重边

    重弧:

        图论相关概念及术语总结_第2张图片

        弧p与弧q是重弧,其端点相同且方向一致

    邻域: 

        

            即图中与u相邻的点构成的集合

    内/外邻域:

        内邻域: ,即v的所有内邻点构成的集合

        外邻域: ,即v的所有外邻点构成的集合

    独立集:

         中任意两个顶点在图G中互不相邻,则称V'为图G的独立集

1.2.2 常见图定义

    简单图:无环、无重边的图

    平凡图:仅有一个顶点的图(可有多条环)

    空图/零图:没有边的图

    有限图:顶点数与边数都是有限的图

    严格有向图:无环、无重弧的图

1.2.3 度相关概念

无向图:

    度: ,顶点v所关联的边的数目(环计两次)

    奇点:度为奇数的点

    偶点:度为偶数的点

    悬挂点/叶点:度为1的点

    孤立点:度为0的点

    最大度:

    最小度:

有向图:

    出度: ,即点v出弧的数目

    入度: ,即点v入弧的数目

    最大出度:

    最大入度:

    最小出度:

    最小入度:

    源点: ,即入度为0的点

    汇点: ,即出度为0的点

 

1.3 同构与恒等

    恒等:两图的顶点集与边集完全相同

        

        例:

            图论相关概念及术语总结_第3张图片

                G与H恒等,与F不恒等

 

    同构:两图的顶点集存在某种映射,边集也存在某种映射,使其能一一对应

        图论相关概念及术语总结_第4张图片

        例:

            图论相关概念及术语总结_第5张图片

                G、H、F三者同构

            证明:G与H同构

                对于点集,可以找到如下映射

                    图论相关概念及术语总结_第6张图片

                对于边集,可以找到如下映射

                    图论相关概念及术语总结_第7张图片

                能够使两图一一对应,因此同构

 

1.4 完全图

    完全图:

        定义:图中任意两点间都有边相连,记作

        例:

            图论相关概念及术语总结_第8张图片

    偶图/二分图/二部图:

        定义:顶点集可划分X与Y两不相交非空子集,对于每条边,都有一个顶点在X中,另一个顶点在Y中;记作G=(X,Y;E)

        例:

            图论相关概念及术语总结_第9张图片

    完全偶图/完全二分图/完全二部图:

        定义:X与Y中任意两点都有唯一边相连

        例:

            图论相关概念及术语总结_第10张图片

 

1.5 子图

1.5.1 基本概念

    子图:若且,则称H是G的子图,记作

    母图:若 ,则称G是H的母图

    真子图:若 且 ,则称H是G的真子图

    生成子图:若 且 ,则称H是G的生成子图

    点导出子图:

        定义:若  (即以V'为顶点集,V'中所有边为边集),则 称为G的点导出子图

        例:

            图论相关概念及术语总结_第11张图片

    边导出子图:

        定义:若(即以E'为边集,E'中所有端点为点集),则 称为G的边导出子图

        例:

            图论相关概念及术语总结_第12张图片

    基础简单图:从图G中去掉所有重边和环后所得的简单图,称为图G的基础简单图

 

1.5.2 图的基本运算

    点减法:

        定义:

            

    边减法:

        定义:

            

            

        例:

            图论相关概念及术语总结_第13张图片

    并:

    交: 

 

1.5.3 其他概念

    不相交:若 ,则称G1与G2为不相交的

    边不相交:若 ,则称G1与G2为边不相交的         

    联图:对于两不相交的图 和 的并图 ,连接 中每对顶点所得到的图,称为图的联图,记作

    k-正则图:

        定义:无向图G中的每个顶点的度数都是常数k,则称为k-正则图

        例:

            图论相关概念及术语总结_第14张图片

    补图:

        定义:

        例:

            图论相关概念及术语总结_第15张图片

    极大子图:图G的子图H具有性质P,若不存在具有性质P的子图F,使得 ,则称H为图G的具有性质P的极大子图

    极小子图:图G的子图H具有性质P,对任意的具有性质P的子图F,使得 ,则称H为图G的具有性质P的极小子图

    线图/边图:以图G的边集E(G)作为顶点集合,两顶点相邻的充要条件是这两顶点在图G中是相邻的边

 

1.6 路与连通

1.6.1 路及相关概念

    途径: 图G中一个顶点与边交替出现的有限非空序列,;不引起混淆时可简化,将其中的边去掉

        起点:

        终点:

        内部顶点:

        长:途径W的边数k

        节/段:途径W上任意连续一段

        逆途径:将起点与终点调换得到的逆向序列,记作

        衔接:若途径W的终点是途径W'的起点,则可将其衔接,记作WW'

    迹:边互不相同的途径(点可重复)

        迹长:迹上的边数

    路:顶点互不相同的途径(边可重复)

        路长:路上的边数

    最长路:对于(u,v)两点间,边数最多的路

    最短路:对于(u,v)两点间,边数最少的路

    距离:(u,v)两点的最短路,即u与v的距离

    例子:

        图论相关概念及术语总结_第16张图片

1.6.2 连通的相关概念

    连通:u与v之间有路

    连通图:图中任意两点间都有路

    连通分支:

        定义:

 

        例:连通分支数为3

            图论相关概念及术语总结_第17张图片

    直径: ,即图中最长的最短路

    边割/割集:

        即为边割

    可达:有向图D中,存在从u到v的路,则称v为从u可达的

    双向连通:若u与v相互可达,则称u与v双向连通

    竞赛图:完全图的定向图

 

1.7 圈

    闭途径:起点与终点相同且长度大于0的途径

    闭迹/回路:起点与终点相同的迹

    圈:起点与终点相同的路

    闭途径/闭迹/圈的长度:包含边的个数

    奇/偶圈:长度为奇数/偶数的圈

    k-圈:长度为k的圈

    圈长:最短圈的长度

    周长:最长圈的长度

    Hamilton圈:图中所有顶点都在圈上

    例:

     图论相关概念及术语总结_第18张图片


2.树与最优树

2.1 树的概念

    森林:不含圈的图

    树:连通的无圈图

    割边: 若e使得 ,则称e为图G的割边;即去掉该边,使得图的连通分支数减小

    非割边:若e使得 ,则称e为图G的非割边

    树叶:树中度为1的顶点

    割点:

        图论相关概念及术语总结_第19张图片

            若图G的边集E(G)可分为两非空子集 ,使得 ,则称v为图G的割点

    偏心率: ,即v点到距其最远的顶点w之间的距离

    中心:偏心率最小的顶点

    半径: ,即中心点的偏心率

    直径: ,即图G的最大偏心率

 

2.2 树的性质

若G为树,则以下定义等价:

图论相关概念及术语总结_第20张图片

 

2.3 生成树

    生成树:一棵树T如果是连通图G的生成子图,则称树T为图G的生成树

    最优生成树:所有生成树中权值合最小的一个

    关联边割: ,即图G中所有与顶点v相关联的边的集合

    键:使得  的极小边集B,称为图G的键

    例:

        

    补图: ,为图G中图H的补图

    余树:当T为图G的生成树时,称 为图G的余数

        图论相关概念及术语总结_第21张图片


3.匹配与覆盖

3.1 匹配

    匹配:图G的一个边子集M中,每条边两个端点不同,且任意两条边互不相邻,则称M为G的一个匹配

    相匹配:若边 ,则称点u与点v在M下相匹配

    M-饱和:若边 ,则称点u与点v为M-饱和的

    M-不饱和:若点u所有相关联的边都不属于一个匹配M,则称u为M-不饱和的

    完美匹配:图G中每一个顶点都被一个匹配M所饱和

    最大匹配:对任意匹配M',都有 ,则称M为最大匹配

    完全匹配:偶图中的完美匹配

    邻集:N(S),图中所有与S中顶点相邻的顶点集合

    1-因子:完美匹配M的边导出子图G[M],称为G的1-因子

    M-交错路:对于图G的一个匹配M,P是图G中一条路,若P的边交替属于M和E(G)\M,则称路P为图G的M-交错路

    M-可扩路:若交错路P的起点与终点都是M-不饱和的,则称P为图G的M-可扩路

    奇分支:顶点数为奇数的分支

    偶分支:顶点数为偶数的分支

    例:

        图论相关概念及术语总结_第22张图片

 

3.2 覆盖

    例图:

        图论相关概念及术语总结_第23张图片

    独立集:图G的顶点子集V'中任意两个顶点在图G中互不相邻,则称V'是图G的独立集;其导出子图G[V']为空图

        例:V'={v1,v5}是独立集,因为v1与v5不相邻

    团:图G的顶点子集S中任意两个顶点在图G中都相邻,则称S为图G的团;其导出子图G[S]为完全图

    覆盖:对于图G的顶点子集K,若图G的每条边中至少有一个端点在K中,则称K为图G的覆盖;其导出子图G[V\K]为空图或V\K为独立集

        例:K={v1,v3,v5,v7}是一个覆盖,因为任找一条边,一定有一个端点属于K

    最大独立集:顶点数最多的独立集

        独立数:最大独立集的顶点数,记作α(G)

        例:{v2,v4,v7}为最大独立集,独立数α=3

    最小覆盖:顶点数最少的覆盖

        覆盖数:最小覆盖的顶点数,记作β(G)

        例:{v1,v3,v5,v7}为最小覆盖,β=4


4.遍历问题

4.1 Euler图

    环游:通过图中每条边至少一次的闭途径

    Euler环游:通过图中每条边恰一次的闭途径

    Euler迹:通过图中每条边的迹 / 通过图中每条边恰一次的途径(一笔画)

    Euler图:包含Euler环游的图

        例:Ae1Be3Ce4Be2A 为Euler环游

            

    充要条件:图G为Euler图的 <=> 图G中所有点的度数为偶数

 

4.2 Hamilton图

    Hamilton路:通过图中每个顶点的路 = 生成路

    Hamilton圈:通过图中每个顶点的圈 = 生成圈

    Hamilton图:包含Hamilton圈的图

        例:

            图论相关概念及术语总结_第24张图片

    闭包:

        定义:图G的简单生成母图,即由G开始,通过反复将其中不相邻且度之和大于等等于v的顶点用新边相连,直到不能继续为止,记作c(G)

        例:后图为前图闭包

            图论相关概念及术语总结_第25张图片


5.网络流

5.1 网络及相关概念

    网络:N=(X,Y,I,A,c)为一个网络,当:

        (1)D=(V,A)是一个有向图

        (2)c是A上的非负函数

        (3)X与Y是两个非空不相交子集,其余顶点集合为I

    发点集合/源点集合:N中的X

        发点/源点:X中的顶点

    收点集合/宿点集合:N中的Y

        收点/宿点:Y中的顶点

    中间点集合:N中的I

        中间顶点:I中的顶点

    容量函数:N中的c

        容量:c(a)的值

    例:

        其中N=(X,Y,I,A,c),X={x1,x2},Y={y1,y2,y3},I={v1,v2,v3,v4},各容量为边权值

        图论相关概念及术语总结_第26张图片

 

5.2 流及相关概念

    流:定义在N=(X,Y,I,A,c)上的的整数函数f(.)为流,当:

        (1)容量约束条件:

        (2)守恒条件:

    流量:f(a)为弧a上的流量

    零流:f(a)=0

    合成流出流量(流出净流量):

    合成流入流量(流入净流量):

    流值:

        例:val f = 6

            图论相关概念及术语总结_第27张图片

 

5.3 最大流

    最大流:若不存在 (.),使得 ,则称 (.)为最大流

    割:对网络N=(x,y,I,A,c),和V(N)的一个顶点子集S,若 ,则称为网络N中的割

    容量: 

        

    最小割:对网络中的一个割K',若对任意割K都有 ,则称K'为网络N的最小割

    对弧a:

        f-零的:f(a)=0

        f-正的:f(a)>0

        f-不饱和的:f(a)

        f-饱和的:f(a)=c(a)

    对路p:

        

        f-饱和的:l(P)=0

        f-不饱和的:l(P)>0

        f-可增路:P是以x为起点,以y为终点的f-不饱和路

    修改流:

        

        称f'为网络N基于P的修改流


附录

常见定理总结

 

第一章:

    

    

    

    

    

    

    

    对于k-边连通图G,有ε>=kn/2


第三章:

    

    

    一颗树Δ>=k,则其中至少有k个度为1的顶点


第四章:

      


第五章:

 图论相关概念及术语总结_第28张图片

       

       

      

 

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