3.5 拉普拉斯定理

基本概念

  在学习拉普拉斯定理之前，先介绍几个重要概念,第一个概念是k阶子式。k-阶子式是指挑选矩阵的k行，k列，按原来的顺序组成的子矩阵的行列式 ，记号比较复杂，我举个例子，第$1,3,5$行和第$1,2,4$列组成的3-阶子式就记为：
A ( 1 , 3 , 5 1 , 2 , 4 ) = ∣ a 11 a 12 a 14 a 31 a 32 a 34 a 51 a 52 a 54 ∣ A\begin{pmatrix}1,3,5\\1,2,4\end{pmatrix}= \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{14}\\ a_{31} & a_{32} & a_{34}\\ a_{51} & a_{52} & a_{54} \end{vmatrix} A(1,3,51,2,4​)= ​a11​a31​a51​​a12​a32​a52​​a14​a34​a54​​ ​
  k-阶余子式，就是取反操作，删除对应行和对应列，剩余的矩阵元素，按照位置不变形成的子矩阵的行列式，比如对于5-阶矩阵来说，$1,3,5$行和第$1,2,4$列的余子式就是$A\left(\begin{array}{c}2,4\\ 3,5\end{array}\right)$.
  剩下一个概念就是代数余子式，是余子式根据行索引和列索引加起来的奇偶性来判断，奇数为负的余子式，偶数为正的余子式。

拉普拉斯定理

  拉普拉斯定理提供了一种计算$n$阶行列式的办法。就是按k行或k列展开。它的算法第一步就是先求n的全部k种组合，然后求这k行和所有k种列组合的子式与代数余子式的乘积，把这些乘积加起来就是行列式。
  公式描述比较麻烦，我以五阶矩阵按第一和第二行展开为例子，讲讲怎么计算。
  首先求所有五阶矩阵取两列的所有的列组合，得出以下10种：
$$\begin{gathered} (1,2),(1,3),(1,4),(1,5) \\ (2,3),(2,4),(2,5) \\ (3,4),(3,5) \\ (4,5) \end{gathered}$$
  那么展开就是：
$$\begin{gathered} |A|=A\left(\begin{array}{c}1,2\\ 1,2\end{array}\right)\times A\left(\begin{array}{c}3,4,5\\ 3,4,5\end{array}\right) \\ +A\left(\begin{array}{c}1,2\\ 1,3\end{array}\right)\times (-1)A\left(\begin{array}{c}3,4,5\\ 2,4,5\end{array}\right) \\ +A\left(\begin{array}{c}1,2\\ 1,4\end{array}\right)\times A\left(\begin{array}{c}3,4,5\\ 2,3,5\end{array}\right) \\ +A\left(\begin{array}{c}1,2\\ 1,5\end{array}\right)\times (-1)A\left(\begin{array}{c}3,4,5\\ 2,3,4\end{array}\right) \\ +A\left(\begin{array}{c}1,2\\ 2,3\end{array}\right)\times A\left(\begin{array}{c}3,4,5\\ 1,4,5\end{array}\right) \\ +A\left(\begin{array}{c}1,2\\ 2,4\end{array}\right)\times (-1)A\left(\begin{array}{c}3,4,5\\ 1,3,5\end{array}\right) \\ +A\left(\begin{array}{c}1,2\\ 2,5\end{array}\right)\times A\left(\begin{array}{c}3,4,5\\ 1,3,4\end{array}\right) \\ +A\left(\begin{array}{c}1,2\\ 3,4\end{array}\right)\times A\left(\begin{array}{c}3,4,5\\ 1,2,5\end{array}\right) \\ +A\left(\begin{array}{c}1,2\\ 3,5\end{array}\right)\times (-1)A\left(\begin{array}{c}3,4,5\\ 1,2,4\end{array}\right) \\ +A\left(\begin{array}{c}1,2\\ 4,5\end{array}\right)\times A\left(\begin{array}{c}3,4,5\\ 1,2,3\end{array}\right) \end{gathered}$$
  再具体以实际的矩阵展开，还是以$5\times 5$的矩阵为例子：
∣ 2 2 4 1 − 1 − 1 − 2 − 3 − 4 4 − 2 3 1 2 − 2 3 − 4 3 − 2 − 4 4 − 4 3 − 4 − 1 ∣ = ∣ 2 2 − 1 − 2 ∣ × ∣ 1 2 − 2 3 − 2 − 4 3 − 4 − 1 ∣ + ∣ 2 4 − 1 − 3 ∣ × ( − 1 ) ∣ 3 2 − 2 − 4 − 2 − 4 − 4 − 4 − 1 ∣ + ∣ 2 1 − 1 − 4 ∣ × ∣ 3 1 − 2 − 4 3 − 4 − 4 3 − 1 ∣ + ∣ 2 − 1 − 1 4 ∣ × ( − 1 ) ∣ 3 1 2 − 4 3 − 2 − 4 3 − 4 ∣ + ∣ 2 4 − 2 − 3 ∣ × ∣ − 2 2 − 2 3 − 2 − 4 4 − 4 − 1 ∣ + ∣ 2 1 − 2 − 4 ∣ × ( − 1 ) ∣ − 2 1 − 2 3 3 − 4 4 3 − 1 ∣ + ∣ 2 − 1 − 2 4 ∣ × ∣ − 2 1 2 3 3 − 2 4 3 − 4 ∣ + ∣ 4 1 − 3 − 4 ∣ × ∣ − 2 3 − 2 3 − 4 − 4 4 − 4 − 1 ∣ + ∣ 4 − 1 − 3 4 ∣ × ( − 1 ) ∣ − 2 3 2 3 − 4 − 2 4 − 4 − 4 ∣ + ∣ 1 − 1 − 4 4 ∣ × ∣ − 2 3 1 3 − 4 3 4 − 4 3 ∣ = 58 \begin{vmatrix}2 & 2 & 4 & 1 & -1\\ -1 & -2 & -3 & -4 & 4\\ -2 & 3 & 1 & 2 & -2\\ 3 & -4 & 3 & -2 & -4\\ 4 & -4 & 3 & -4 & -1\\ \end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix}2 & 2\\ -1 & -2\\ \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix}1 & 2 & -2\\ 3 & -2 & -4\\ 3 & -4 & -1\\ \end{vmatrix} \\+\begin{vmatrix}2 & 4\\ -1 & -3\\ \end{vmatrix} \times (-1)\begin{vmatrix}3 & 2 & -2\\ -4 & -2 & -4\\ -4 & -4 & -1\\ \end{vmatrix} \\+\begin{vmatrix}2 & 1\\ -1 & -4\\ \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix}3 & 1 & -2\\ -4 & 3 & -4\\ -4 & 3 & -1\\ \end{vmatrix} \\+\begin{vmatrix}2 & -1\\ -1 & 4\\ \end{vmatrix} \times (-1)\begin{vmatrix}3 & 1 & 2\\ -4 & 3 & -2\\ -4 & 3 & -4\\ \end{vmatrix} \\+\begin{vmatrix}2 & 4\\ -2 & -3\\ \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix}-2 & 2 & -2\\ 3 & -2 & -4\\ 4 & -4 & -1\\ \end{vmatrix} \\+\begin{vmatrix}2 & 1\\ -2 & -4\\ \end{vmatrix} \times (-1)\begin{vmatrix}-2 & 1 & -2\\ 3 & 3 & -4\\ 4 & 3 & -1\\ \end{vmatrix} \\+\begin{vmatrix}2 & -1\\ -2 & 4\\ \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix}-2 & 1 & 2\\ 3 & 3 & -2\\ 4 & 3 & -4\\ \end{vmatrix} \\+\begin{vmatrix}4 & 1\\ -3 & -4\\ \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix}-2 & 3 & -2\\ 3 & -4 & -4\\ 4 & -4 & -1\\ \end{vmatrix} \\+\begin{vmatrix}4 & -1\\ -3 & 4\\ \end{vmatrix} \times (-1)\begin{vmatrix}-2 & 3 & 2\\ 3 & -4 & -2\\ 4 & -4 & -4\\ \end{vmatrix} \\+\begin{vmatrix}1 & -1\\ -4 & 4\\ \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix}-2 & 3 & 1\\ 3 & -4 & 3\\ 4 & -4 & 3\\ \end{vmatrix}\\=58 ​2−1−234​2−23−4−4​4−3133​1−42−2−4​−14−2−4−1​ ​= ​2−1​2−2​ ​× ​133​2−2−4​−2−4−1​ ​+ ​2−1​4−3​ ​×(−1) ​3−4−4​2−2−4​−2−4−1​ ​+ ​2−1​1−4​ ​× ​3−4−4​133​−2−4−1​ ​+ ​2−1​−14​ ​×(−1) ​3−4−4​133​2−2−4​ ​+ ​2−2​4−3​ ​× ​−234​2−2−4​−2−4−1​ ​+ ​2−2​1−4​ ​×(−1) ​−234​133​−2−4−1​ ​+ ​2−2​−14​ ​× ​−234​133​2−2−4​ ​+ ​4−3​1−4​ ​× ​−234​3−4−4​−2−4−1​ ​+ ​4−3​−14​ ​×(−1) ​−234​3−4−4​2−2−4​ ​+ ​1−4​−14​ ​× ​−234​3−4−4​133​ ​=58
  通过上面两个实际例子，就更容易理解拉普拉斯定理了。

Python实现

  对于线性代数里学到的东西，我习惯性地用python实验一下，以下是我的python代码：

    def laplace(self, rows):
        k = len(rows)
        n = len(self.__vectors)
        import com.youngthing.mathalgorithm.combinatorics.binomial_combination_tree as bct
        indices = [i for i in range(n)]
        combinations = bct.combinations(indices, k)
        rows_sum = sum(rows)
        result = 0
        remain_rows = [x for x in indices if x not in rows]
        for combination in combinations:
            # 子式
            subdeterminant = self.subdeterminant(rows, combination)

            # 代数余子式的符号
            columns_sum = sum(combination)
            even = (rows_sum + columns_sum) & 1 == 0

            # 余子式
            remain_columns = [x for x in indices if x not in combination]
            minor = self.subdeterminant(remain_rows, remain_columns)
            if even:
                result += subdeterminant * minor
            else:
                result -= subdeterminant * minor
        return result

    def subdeterminant(self, rows, columns):
        array = [[self.__vectors[column][row] for row in rows] for column in columns]
        matrix = Matrix(array)
        return matrix.cofactor_expansion()

结语

  至此，我写了五种行列式的算法，定义法、chiò算法、Dodgson算法、按一行一列展开，按k行k列展开。前三种算法性能不高，计算量庞大，后两种算法只有在矩阵中含有比较多的0的时候（这种矩阵也叫稀疏矩阵）好用。接下来我要介绍一种实际应用中最常用，性能最好的算法，也就是高斯消元法。