代码随想录刷题Day44 | 完全背包 | 518. 零钱兑换 II | 377. 组合总和 Ⅳ
代码随想录刷题Day44 | 完全背包 | 518. 零钱兑换 II | 377. 组合总和 Ⅳ
完全背包
题目：
有 NN 种物品和一个容量是 VV 的背包，每种物品都有无限件可用。
第 ii 种物品的体积是 vivi，价值是 wiwi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，VN，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 NN 行，每行两个整数 vi,wivi,wi，用空格隔开，分别表示第 ii 种物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0 代码： 题目： 给你一个整数数组 请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 假设每一种面额的硬币有无限个。 题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。 示例 1： 思路： 这是一道典型的背包问题，一看到钱币数量不限，就知道这是一个完全背包。 但本题和纯完全背包不一样，纯完全背包是能否凑成总金额，而本题是要求凑成总金额的个数！ 注意题目描述中是凑成总金额的硬币组合数，为什么强调是组合数呢？ 例如示例一： 5 = 2 + 2 + 1 5 = 2 + 1 + 2 这是一种组合，都是 2 2 1。 如果问的是排列数，那么上面就是两种排列了。 组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序。 其实这一点我们在讲解回溯算法专题的时候就讲过了哈。 那我为什么要介绍这些呢，因为这和下文讲解遍历顺序息息相关! 回归本题，动规五步曲来分析如下： dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j] dp[j] （考虑coins[i]的组合总和） 就是所有的dp[j - coins[i]]（不考虑coins[i]）相加。 所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]]; 求装满背包有几种方法，一般公式都是：dp[j] += dp[j - nums[i]]; 首先dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是 递归公式的基础。 从dp[i]的含义上来讲就是，凑成总金额0的货币组合数为1。 下标非0的dp[j]初始化为0，这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j] 本题中我们是外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额），还是外层for遍历背包（金钱总额），内层for循环遍历物品（钱币）呢？ 因为纯完全背包求得是能否凑成总和，和凑成总和的元素有没有顺序没关系，即：有顺序也行，没有顺序也行！ 而本题要求凑成总和的组合数，元素之间要求没有顺序。 所以纯完全背包是能凑成总和就行，不用管怎么凑的。 本题是求凑出来的方案个数，且每个方案个数是为组合数。 那么本题，两个for循环的先后顺序可就有说法了。 我们先来看 外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）的情况。 代码如下： 假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5。 那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。 所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数！ 如果把两个for交换顺序，代码如下： 背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。 此时dp[j]里算出来的就是排列数！ 可能这里很多同学还不是很理解，建议动手把这两种方案的dp数组数值变化打印出来，对比看一看！（实践出真知） 输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，dp状态图如下： 最后红色框dp[amount]为最终结果。 代码： 题目： 给你一个由 不同 整数组成的数组 题目数据保证答案符合 32 位整数范围。 示例 1： 思路： 本题题目描述说是求组合，但又说是可以元素相同顺序不同的组合算两个组合，其实就是求排列！ 弄清什么是组合，什么是排列很重要。 组合不强调顺序，(1,5)和(5,1)是同一个组合。 排列强调顺序，(1,5)和(5,1)是两个不同的排列。 但其本质是本题求的是排列总和，而且仅仅是求排列总和的个数，并不是把所有的排列都列出来。 如果本题要把排列都列出来的话，只能使用回溯算法爆搜。 动规五部曲分析如下： dp[i]: 凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i] dp[i]（考虑nums[j]）可以由 dp[i - nums[j]]（不考虑nums[j]） 推导出来。 因为只要得到nums[j]，排列个数dp[i - nums[j]]，就是dp[i]的一部分。 本题也一样。 因为递推公式dp[i] += dp[i - nums[j]]的缘故，dp[0]要初始化为1，这样递归其他dp[i]的时候才会有数值基础。 至于非0下标的dp[i]应该初始为多少呢？ 初始化为0，这样才不会影响dp[i]累加所有的dp[i - nums[j]]。 个数可以不限使用，说明这是一个完全背包。 得到的集合是排列，说明需要考虑元素之间的顺序。 本题要求的是排列，那么这个for循环嵌套的顺序可以有说法了。 如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。 如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。 如果把遍历nums（物品）放在外循环，遍历target的作为内循环的话，举一个例子：计算dp[4]的时候，结果集只有 {1,3} 这样的集合，不会有{3,1}这样的集合，因为nums遍历放在外层，3只能出现在1后面！ 所以本题遍历顺序最终遍历顺序：target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历。 我们再来用示例中的例子推导一下： 代码：输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
10
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int n = sc.nextInt();
int v = sc.nextInt();
int[][] item = new int[n][2];
for(int i = 0; i < n; i++) item[i] = new int[]{sc.nextInt(), sc.nextInt()};
int[] dp = new int[v + 1];
for(int i = 0; i < n; i++){
for(int j = item[i][0]; j <= v; j++){
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - item[i][0]] + item[i][1]);
}
}
System.out.println(dp[v]);
}
}
518. 零钱兑换 II
coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。0 。输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
class Solution {
public int change(int amount, int[] coins) {
int[] dp = new int[amount + 1];
dp[0] = 1;
for(int i = 0; i < coins.length; i++){
for(int j = coins[i]; j <= amount; j++){
dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
return dp[amount];
}
}
377. 组合总和 Ⅳ
nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。输入：nums = [1,2,3], target = 4
输出：7
解释：
所有可能的组合为：
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)
请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。
class Solution {
public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
int[] dp = new int[target + 1];
dp[0] = 1;
for(int i = 0; i <= target; i++){
for(int j = 0; j < nums.length; j++){
if(i >= nums[j]) dp[i] += dp[i - nums[j]];
}
}
return dp[target];
}
}