「代码随想录」518. 零钱兑换 II 【动态规划】力扣详解！
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518. 零钱兑换 II
链接：https://leetcode-cn.com/problems/coin-change-2/
难度：中等
给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。
示例 1:
输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出: 4
解释: 有四种方式可以凑成总金额:
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1
示例 2:
输入: amount = 3, coins = [2]
输出: 0
解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。
示例 3:
输入: amount = 10, coins = [10]
输出: 1
注意，你可以假设：
- 0 <= amount (总金额) <= 5000
- 1 <= coin (硬币面额) <= 5000
- 硬币种类不超过 500 种
- 结果符合 32 位符号整数
思路
这是一道典型的背包问题，一看到钱币数量不限，就知道这是一个完全背包。
对完全背包还不了解的同学，可以看这篇：动态规划：关于完全背包，你该了解这些！
但本题和纯完全背包不一样，纯完全背包是能否凑成总金额，而本题是要求凑成总金额的个数！
注意题目描述中是凑成总金额的硬币组合数，为什么强调是组合数呢？
例如示例一：
5 = 2 + 2 + 1
5 = 2 + 1 + 2
这是一种组合，都是 2 2 1。
如果问的是排列数，那么上面就是两种排列了。
组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序。 其实这一点我们在讲解回溯算法专题的时候就讲过了哈。
那我为什么要介绍这些呢，因为这和下文讲解遍历顺序息息相关!
回归本题，动规五步曲来分析如下：
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]
- 确定递推公式
dp[j] （考虑coins[i]的组合总和） 就是所有的dp[j - coins[i]]（不考虑coins[i]）相加。
所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]];
这个递推公式大家应该不陌生了，我在讲解01背包题目的时候在这篇动态规划：目标和！中就讲解了，求装满背包有几种方法，一般公式都是：dp[j] += dp[j - nums[i]];
- dp数组如何初始化
首先dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是 递归公式的基础。
从dp[i]的含义上来讲就是，凑成总金额0的货币组合数为1。
下标非0的dp[j]初始化为0，这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j]
- 确定遍历顺序
本题中我们是外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额），还是外层for遍历背包（金钱总额），内层for循环遍历物品（钱币）呢？
我在动态规划：关于完全背包，你该了解这些！中讲解了完全背包的两个for循环的先后顺序都是可以的。
但本题就不行了！
因为纯完全背包求得是能否凑成总和，和凑成总和的元素有没有顺序没关系，即：有顺序也行，没有顺序也行！
而本题要求凑成总和的组合数，元素之间要求没有顺序。
所以纯完全背包是能凑成总结就行，不用管怎么凑的。
本题是求凑出来的方案个数，且每个方案个数是为组合数。
那么本题，两个for循环的先后顺序可就有说法了。
我们先来看 外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）的情况。
代码如下：
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5。
那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。
所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数！
如果把两个for交换顺序，代码如下：
for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。
此时dp[j]里算出来的就是排列数！
可能这里很多同学还不是很理解，建议动手把这两种方案的dp数组数值变化打印出来，对比看一看！（实践出真知）
- 举例推导dp数组
输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，dp状态图如下：
最后红色框dp[amount]为最终结果。
以上分析完毕，C++代码如下：
class Solution {
public:
int change(int amount, vector& coins) {
vector dp(amount + 1, 0);
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
return dp[amount];
}
};
是不是发现代码如此精简，哈哈
总结
本题的递推公式，其实我们在动态规划：目标和！中就已经讲过了，而难点在于遍历顺序！
在求装满背包有几种方案的时候，认清遍历顺序是非常关键的。
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
可能说到排列数录友们已经有点懵了，后面Carl还会安排求排列数的题目，到时候在对比一下，大家就会发现神奇所在！
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