[CF613A Peter and Snow Blower] 题解

[CF613A Peter and Snow Blower] 题解

来水一篇向量题解

第一眼一看：多边形扫过的面积不就是个圆环吗，不就记录个定点到每个点的长度的最值吗 $r_{max},r_{min}$ 然后答案就是 $\pi (r_{max}^2-r_{min}^2)$ ，交上去： $\text{Wrong answer on test 3}$ ，直接爆粗口。

经过 $n$ 分钟后突然意识到貌似还要看看定点到每条边（注意：边是条线段，不是直线）的距离诶

前置芝士：点乘，叉乘

下面主要讲如何计算定点到线段的距离

(先放一张图)

1. 如何判 $D$ 是否在线段 $BC$ 上

很明显：只要 $\angle B,\angle C<\frac{\pi }{2}$ 就可以了，由于算角度精度较低，所以就有了点积的方法：

构造向量 $BA,BC$ 如果 $BA\cdot BC\ge 0$ 则 $D$ 在线段 $BC$ 上，反之不然。

2. 如何算 $A$ 到 $BC$ 的距离

（稍微吐槽直线方程亿秒钟，差点没算 s 我）

由于二维的向量叉积可以表示向量组成的平行四边形的面积，而平行四边形的面积有等于 $AD\times BC$ ， $BC$ 可以用两点距离公式算出来，于是这道题就解决了。

贴上代码

double pi = acos(-1);
struct point {
	double x, y;
	point(double _x = 0, double _y = 0)
		: x(_x), y(_y) {}
	inline void read() {
		cin >> x >> y;
	}
	inline friend double dist(point a, point b) {//两点距离公式
		double sq1 = (a.x - b.x), sq2(a.y - b.y);
		return sqrt(sqr(sq1) + sqr(sq2));
	}
	inline friend bool operator==(point a, point b) {
		return a.x == b.x && a.y == b.y;
	}
	inline friend bool operator!=(point a, point b) {
		return a.x != b.x || a.y != b.y;
	}
	inline friend point operator-(point a, point b) {
		return point(a.x - b.x, a.y - b.y);
	}
	inline friend point operator+(point a, point b) {
		return point(a.x + b.x, a.y + b.y);
	}
	inline friend double cross(point a, point b) {//叉乘的坐标运算
		return a.x * b.y - a.y * b.x;
	}
	inline friend double dot(point a, point b) {//点乘的坐标运算
		return a.x * b.x + a.y * b.y;
	}
	inline friend point operator*(point a, double b) {
		return point(a.x * b, a.y * b);
	}
};
double dist_sqr(point a, point b) {//两点距离的平方
	return sqr(a.x - b.x) + sqr(a.y - b.y);
}
inline double distl_sqr(point a, point p, point q) {//点到直线
	if (dot(a - q, p - q) < 0 || dot(a - p, q - p) < 0)//$D$ 没在 $BC$ 上
		return dist_sqr(a, p);
	return cross(p - a, q - a) * cross(p - a, q - a) / dist_sqr(p, q);//返回 $cross(p - a, q - a) / dist(p, q)$ 的平方
}
signed main() {
	int n; cin >> n;
	point rt; rt.read();
	vector<point> p(n);
	double maxi = 0, mini = 1e18;//$r_{max}^2$ 和 $r_{min}^2$
	for (int i = 0; i < n; i++)
		p[i].read();
	for (int i = 0; i < n; i++)
		maxi = max(maxi, dist_sqr(p[i], rt)), mini = min(mini, dist_sqr(p[i], rt));
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		point a = p[i], b = p[(i + 1) % n];
		mini = min(mini, distl_sqr(rt, a, b));//只需要更新最近点，最远点一定在多边形的定点上
	}
	printf("%.7llf", pi * (maxi - mini));
}