二维曲线 去噪点 c++_笔记：初等微几（曲线论、曲面论、第一、二基本型）

曲线论大意

给定空间曲线C

弧长参数下，曲线C的单位切向量、主法向量、次法向量形成一副“正交标架”，也称 Frenet 标架。

切向量：

主法向量：

，曲率定义为

次法向量：

，挠率定义为

曲线论基本定理大致是说：取弧长参数条件下，给定曲率、挠率。则空间曲线C的形状就确定了，位置可以平移。

证明的方法是直接利用“常微分方程存在性、唯一性定理”。

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曲面的数学定义以及第一、第二基本形式

我们知道，2维曲面的标准数学定义是指一个映射

这种形式下，2维曲面是看成嵌入在

中的“曲面”。

原来，公式中的

就可以看成是这个2维曲面S的内蕴坐标，而

可以看成是曲面S嵌入在3维空间的3维坐标（外蕴坐标）。

就是要首先知道

这三个具体表达式（比如抛物面

），然后来研究曲面

的各种性质。

由多元函数微分学得：

粗略地说，

曲面

的“

第一基本型

”对应于

保留1阶增量，略去高阶增量（求

大小要对其进行平方）；

曲面

的“

第二基本型

”对应于

略去1阶增量，保留2阶增量，忽略3阶及以上增量（求

大小要再点乘 单位法向量

。其实，一阶增量点乘了单位法向量之后，结果为0，自然就略去了）。

说白了，设

那么，第一、二基本型分别对应

.

可以看出，无论是用内蕴坐标还是外蕴坐标，第一基本形式都是2次-微分形式。只是系数不同，也就是说它们的size是一样的。所以，可以指望它们在一定条件下连系数都相同（这就有点“等距嵌入”的感觉？）。

曲面第二基本形的几何意义是曲面上某一点P沿着某一方向的弯曲程度。即点P处的切平面与曲面(点P附近这一块)的距离差 [7]。

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• 内蕴几何

“内蕴几何”说的是：不需要知道

这三个

具体表达式，而仅仅知道 第一基本量

，以及曲面上的

度量和 两直线内积，去研究推导曲面的各种几何性质。

第一基本量的定义

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• 算例

如果只知道2维曲面上的度量（或称“线素”）

则可推出该曲面的面积微元表达式为

。

证：

由面积微元的定义式(局部线性近似代替之后，边长就是直线，相当于求平行四边形面积公式)

其中

是向量

之间的夹角，故得

夹角余弦

。

所以有

证完。

这个曲面面积微元公式和“数学分析”中推导的曲面微元公式完全一致！

推导的从头到尾都没用到曲面的具体表达式

。如果先知道

各自的表达式，当然可以算出

，不过前者条件比后者要强。

以上这件事情可以推广到N维空间。

Riemann几何

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• 测地线与变分法Euler-Lagrange方程

“测地线方程”的导出就只需知道第一基本量（Riemann度量）

即可。设

再设曲面上一条曲线

直接利用“变分”理论，将“Euler-Lagrange方程”代入弧长泛函对应的能量泛函

中。

其中

这是张量记号。

得测地线方程为：

这里

是

Christoffel记号（克氏符 ）是一个张量，是与黎曼度量

有关的量。

再次重申，以上的所有推导只用到了第一基本量

，并不需要知道曲面的具体表达式

长什么样。

就如“泛函分析”经常用“距离”的本质属性——“三角不等式”来推导结果，而并没有用到距离函数

的具体表达式。

内蕴几何只需要第一基本量

另外，“测地线方程”的左端项被称为“测地曲率”

，换句话说，测地线就是曲面

上满足“测地曲率为0”的曲线。将

沿着曲面

上一条

简单、封闭曲线

积分，再利用Green公式，即可得到著名的“

Gauss-Bonnet”公式！

==========================2017/10/28======================

“测地线”还和曲面上的“平行移动”有联系。

曲面上的“Levi-Civita平移”可以定义为：移动过的轨迹线上的各个点“切向量”之间夹角保持不变。夹角余弦由“内积”定义，“内积”由“第一基本量”定义。归根结底，“平行移动”就是由“第一基本量”

决定了。

• Euler-Lagrange方程与测地线方程的推导

Euler-Lagrange方程的形式推导

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外微分、活动标架法，及其应用

设曲面

二维曲面嵌入在三维欧式空间中

设活动标架为

它的“无穷小位移（关于

）方程”实际上就是活动标架的“微分方程”。

先待定系数

（这个称为“Pfaff形式”？），列出标架的微分方程组，也称为“

活动标架的 运动方程”

由于

，可推出

微分方程是否可积？可积条件就是“Frobenius可积性条件”

这个“可积性条件”就是对“活动标架的运动方程”等号两边用“外微分算子d”作用导出的，任何一个“k次-微分形式”被“外微分算子d”作用2次及以上都得0（“Poincare lemma”），对r外微分2次、对标架外微分2次就分别导出Gauss方程、Codazzi方程。

微分方程的可积性条件在曲面论中又叫作“活动标架的结构方程”。利用结构方程可证明“Gauss绝妙定理 — 曲面的Gauss曲率仅和第一基本型有关”。

关于Gauss曲率，顺便讲讲主曲率。

过曲面上一点p，有无穷个方向的曲率。但是存在两个方向相互正交，并且，沿着这两个方向的曲线（在p点）的曲率分别取到最大值

、最小值

（称他们为“主曲率”对应的方向称为“主方向”）。

不妨拿一张白纸，微卷起来，观察它的“主方向、主曲率”。

对于一张曲面，可定义一个线性变换——Weingarten变换（线性变换对应一个表示矩阵，称为Weingarten矩阵）。主曲率恰好是“Weingarten矩阵”的两个特征值，属于两个特征值的特征向量恰好对应两个“主方向”。两个主方向互相正交，是因为“对于实对称阵，属于不同特征值的特征向量是正交的”。

我们将“主曲率之乘积

”称为“Gauss曲率”，将“主曲率之中值

”称为“平均曲率”（平均曲率恒为0的曲面称为“极小曲面”）。

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• 应用例子

空间曲线的弧长参数活动标架就是Frenet 标架 —

。

代入活动标架的无穷小位移方程就可得到 Frenet 方程。容易验证曲线论Frenet微分方程是完全可积的，也就是它自动满足“结构方程”，所以它不需要“结构方程”这个附加条件。

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从以上推导可以看出“活动标架法+外微分算子”的威力，它把曲线论、曲面论的标架微分方程纳入到统一框架下研究，可以说是它们的推广抽象。曲线论中的标架即切向量

、

主法向量

和

次法向量

对应于曲面论中

。曲线论“

Frenet 微分方程”对应于曲面论中“自然标架运动方程”(就是涉及到 Christoffel 记号

的那个方程组)。

它们的存在性证明分别用到ODEs、PDEs理论，而曲面论除了有标架微分方程还需要“可积分条件”—— Gauss-Codazzi 结构方程，而曲线论中的Frenet方程自动满足“可积分条件”，所以加或不加“可积分条件”效果都一样。

曲线论、曲面论基本定理

当两条空间曲线表达式、形状相同，那么它们的曲率、挠率必定相同；当两张空间曲面的表达式、形状相同，那么它们的第一、二基本形必定相同。数学家总是要问：反过来说对不对？如果不对，又要加哪些条件才能让它对。

这就导致了曲线论、曲面论的基本定理。曲面可以由它的第一、第二基本型（就是两个2次-微分形式）完全决定了（“不需要知道得那么多”）。换句话说，如果两个曲面S与S'的第一、第二基本型分别相等，那么，S与S'也相等（最多差一个积分常数亦即刚体运动）。有一点点类似于，如果闭区间上两个光滑一元函数f与g的导数完全相等，那么，f与g也相等（最多差一个积分常数）。

“曲线论、曲面论的基本定理”的证明方法是利用常（偏）微分方程组的存在性、唯一性定理。

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其他教材关于曲线论、曲面论的概述

龚昇. 简明复分析[M]. 中国科学技术大学出版社, 2009.

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参考文献：

1. 陈维桓. 微分几何（第二版）[M]. 北京大学出版社, 2017.
2. 栗田稔, 王运达 译. 黎曼几何[M]. 东北工学院编印, 1982.
3. 赵峥. 《广义相对论入门讲座》连载6——测地线、联络、曲率与挠率[J]. 大学物理, 2011. 30(12):58-58.
4. 张恭庆. 变分学讲义[M]. 高等教育出版社, 2011.
5. 【理解黎曼几何】3. 测地线 - 科学空间|Scientific Spaces 【理解黎曼几何】3. 测地线 - 科学空间|Scientific Spaces
6. 梅向明, 王汇淳编. 微分几何学习指导与习题选解[M]. 高等教育出版社, 2004.
7. 苏步青, 胡和生…[等. 微分几何[M]. 人民教育出版社, 1979.
8. 龚昇. 简明复分析[M]. 中国科学技术大学出版社, 2009.