动态规划（基础）

目录

一、算法思想

二、解题步骤 

三、神奇的兔子序列 

（一）问题

（二）递归公式

（三）以求解F(6)为例 

（四）代码

四、01背包问题

（一）算法思想 

（二）举例  

1. 有3种物品

2. 背包问题网格

3. 初始化第一列

4. 吉他行

5. 音箱行 

6. 电脑行

7. 总结

（三）核心代码  

（四）完整代码  

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一、算法思想

• 动态规划也是一种分治思想，但与分治算法不同的是，分治算法是把原问题分解成若干子问题，自顶向下求解各子问题，合并子问题的解，从而得到原问题的解。动态规划也是把原问题分解为若干子问题然后自底向上，先求解最小的子问题，把结果存储在表格中，再求解大的子问题时，直接从表格中查询小的子问题的解，避免重复计数，从而提高算法效率。

二、解题步骤 

（1）分析最优解的结构特征

（2）建立最优值的递归式

（3）自底向上计算最优值，并记录

（4）构造最优解

三、神奇的兔子序列 

（一）问题

前两个月都是1对兔子，从第3个月开始，当月的兔子数等于前两个月的兔子数，求解第n个月的兔子数量？

（二）递归公式

 

（三）以求解F(6)为例 

• 利用动态规划求解的时候，记录结果，重复问题只需要求解依次即可

（四）代码

int Fib(int n)
{
	if (n < 1)
		return -1;
	else
	{
		vectorF(n+1);
		F[0]=0;
		F[1]=1;
		F[2]=1;
		for (int i = 3; i <= n; i++)
		{
			F[i] = F[i - 1] + F[i - 2];
		}
		return F[n];
	}
}

四、01背包问题

（一）算法思想 

• 用数组表示从下标为0到的物品里任意选取，然后放进容量为的背包中，背包所能装入的最大价值。

对于一个物品i，要么能放入背包，要么不能放入背包：

• 第一种情况：物品的重量大于背包容量的时候，此时物品不能放入背包中，那么需要从剩下0到个物品中任意选取放入背包中，此时背包所能装入最大价值为。
• 第二种情况：物品的重量小于背包容量的时候，此时物品能放入背包中，但是可以选择将物品不放入背包或者放入背包。第二种情况又分以下两种：
• 1.选择不将物品放入背包的时候，那么从剩下的0到个物品中任意选取价值大的物品放入背包中，此时背包所能装入最大价值为。
• 2.选择将物品放入背包的时候，需要先将物品放入背包，那么背包剩余容量为，
• 此时从剩下的0到个物品中任意选取价值大的物品放入背包中，背包所能装入最大价值为
• 那么物品最大价值为：

所以背包所能装入最大价值为：

（二）举例  

1. 有3种物品

物品	价值	重量
吉他	1500美元	1磅
音箱	3000美元	4磅
笔记本电脑	2000美元	3磅

2. 背包问题网格

 

3. 初始化第一列

• 背包容量为0，意味着吉他，音箱，电脑都不能装入背包，所有此时背包最大价值均为0 

4. 吉他行

 1.  第2个单元格表示背包的容量为1磅。吉他的重量也是1磅，这意味着它能装入背包！

 

2. 之后背包容量为2磅，3磅，4磅也能装下

 3. 表明若一个背包容量为4磅，可在其中装入的商品的最大价值为1500美元

5. 音箱行 

 

 

• 更新最大值：表明若一个背包容量为4磅，可在其中装入的商品的最大价值为3000美元  

6. 电脑行 

 

 

7. 总结

（三）核心代码  

template
void Knapsack(int bagW,int n)
{
	vectorvalue(n);//存放物品价值
	vectorweight(n);//物品数量
	Init(n,value,weight);//初始化物品信息
	vector>dp(n,vector(bagW+1,0));//背包最大价值

	for (int i = 0; i < n; i++)//初始化第一列
	{
		dp[i][0] = 0;
	}
	for (int j = 1; j <= bagW; j++)//初始化第一行
	{
		if (j < weight[0])//背包容量小于物品重量
			dp[0][j] = 0;
		else
			dp[0][j] = value[0];
	}

	for (int i = 1; i < n; i++)//i是物品序号
	{
		for (int j = 1; j <=bagW; j++)//j表示背包容量
		{
			if (j < weight[i])//容量为j的背包装不了物品i
				dp[i][j] = dp[i - 1][j];//此时背包最大价值为前i-1个物品的最大价值
			else
				dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
		}
	}
	cout << "背包最大价值："<

（四）完整代码  

#include
#include
using namespace std;
template
void Init(int n,vector&v,vector&w)//物品初始化
{
	cout << "依次输入物品的价值和重量："<> v[i] >> w[i];
	}
	//直接初始化物品
	//vectorvalue{ 1501.6,3000,2000.8 };
	//v = value;
	//vectorweight{ 1,4,3 };
	//w = weight;
}
template
void Knapsack(int bagW,int n)
{
	vectorvalue(n);//存放物品价值
	vectorweight(n);//物品数量
	Init(n,value,weight);//初始化物品信息
	vector>dp(n,vector(bagW+1,0));//背包最大价值

	for (int i = 0; i < n; i++)//初始化第一列
	{
		dp[i][0] = 0;
	}
	for (int j = 1; j <= bagW; j++)//初始化第一行
	{
		if (j < weight[0])//背包容量小于物品重量
			dp[0][j] = 0;
		else
			dp[0][j] = value[0];
	}

	for (int i = 1; i < n; i++)//i是物品序号
	{
		for (int j = 1; j <=bagW; j++)//j表示背包容量
		{
			if (j < weight[i])//容量为j的背包装不了物品i
				dp[i][j] = dp[i - 1][j];//此时背包最大价值为前i-1个物品的最大价值
			else
				dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
		}
	}
	cout << "背包最大价值："<(4,3);//背包最大容量为4，物品个数为3
	return 0;
}