生物化学 电阻抗成像OpenEIT 番外篇 EIT公式
EIT简介
摘要电阻抗断层扫描（EIT）是一种成像方式，使用无害的电流探测患者或物体。电流通过放置在靶表面上的电极馈送，数据由在电极处测量的电压组成，这些电压由一组线性独立的电流注入模式产生。EIT旨在恢复目标内部电导率的内部分布。EIT图像形成任务的逆问题是非线性和严重不适定的，因此对建模误差和测量噪声敏感。因此，需要对反演过程进行正则化。
然而，传统的基于优化的变分正则化方法由于其非线性，往往存在局部极小问题。这就是正则化直接（非迭代）方法对EIT的吸引力所在。最先进的直接EIT算法是基于复杂几何光学解决方案和非线性傅里叶变换的D-bar方法。综述了D-bar方法的变体和最新发展，并解释了它们的实际数值实现。
- 对于L个电极，施加L−1个线性独立的电流模式以构成数据集中的一个帧，并且Dirichlet到Neumann映射将如下所述进行计算。
2. EIT公式
| Ω | u | γ = σ + i ω ϵ \gamma = \sigma+ i \omega \epsilon γ=σ+iωϵ |
|---|---|---|
| 二维单连通域 | 电势 | 复电导率 |
假设（准静态电磁场 ）
- 电流不变假设
- 电压激励不变假设
- 电导率标量化（不考虑各项异性，假定 γ \gamma γ为实数，既只有电导率未知）
前提（麦克斯韦方程组,可能有些描述不严谨，但方便理解与记忆）
积分形式
-
电磁感应定律：回路中感应电动势的大小与磁铁移动速度(磁通量对时间导数)正比
( 非静电力把正电荷从负极板移到正极板时要对电荷做功，这个做功的物理过程是产生电源电动势的本质 ， L 为环路 ) ∮ L E ⋅ d l = − d d t ∬ S B ⋅ d s ( 通过 S 的磁通量 ) \color{red}(非静电力把正电荷从 负极 板移到正极板时要对 电荷 做功，这个做功的物理过程是产生电源电动势的本质\\，L为环路)\color{black}\oint_{L}E\cdot dl= -\frac{d}{dt} \color{red} \iint_{S}B\cdot ds ( 通过S的磁通量 ) (非静电力把正电荷从负极板移到正极板时要对电荷做功，这个做功的物理过程是产生电源电动势的本质，L为环路)∮LE⋅dl=−dtd∬SB⋅ds(通过S的磁通量) -
安培定律 (电流和变化的电场在空间上散射磁场，电场随时间变化会在空间上散射磁场)
∮ L B ⋅ d l = μ 0 I ( 电流 , 均匀移动的电子 ) + μ 0 ϵ 0 d d t ∬ S E ⋅ d s \color{red} \color{black}\oint_{L}B\cdot dl=\mu_0 I(电流,均匀移动的电子)+\mu_0 \epsilon_0 \frac{d}{dt} \color{red} \iint_{S}E\cdot ds ∮LB⋅dl=μ0I(电流,均匀移动的电子)+μ0ϵ0dtd∬SE⋅ds
- 类似用布包上灯，的光线个数不变定律（单连通区域）
∯ S E d s = Q ( 电荷量 ) ϵ 0 ( 真空介电常数 ) ( 某个和电荷量有关的常数 ) \oiint_{S} E ds = \frac{Q(电荷量)}{\epsilon_0 (真空介电常数)}(某个和电荷量有关的常数) ∬SEds=ϵ0(真空介电常数)Q(电荷量)(某个和电荷量有关的常数)
- 不存在单磁体，所以磁感线进出相抵消（单连通区域）
∯ S B d s = 0 \oiint_{S} B ds = 0 ∬SBds=0
磁导率 说明，磁场强度H，磁感应强度（磁激发） B = μ 0 H \color{red}B\color{black}=\mu_0 H B=μ0H,真空磁导率很小
介电常数 说明，电场强度E，电感应强度（电激发） D = ε 0 E D=ε_0\color{red}E\color{black} D=ε0E,真空电导率很小
微分形式
推导
电导率（为电阻率ρ的倒数） σ = J ( 电流密度 ) E ( 电场强度 ) \sigma = \frac{J(电流 密度)}{E(电场 强度)} σ=E(电场强度)J(电流密度)
主要的方程
- 1.在准静态电磁场，电流密度不随时间改变，电场强度E =U/d （V/m或N/C）
∇ J = 0 ， E = − ∇ u \nabla J =0，E =-∇ u ∇J=0，E=−∇u
因为 ∇ J = 0 \nabla J =0 ∇J=0, ∇ ( σ E ) = 0 \nabla (\sigma E) =0 ∇(σE)=0， ∇ ( σ ∇ u ) = − 0 \nabla (\sigma ∇ u) =-0 ∇(σ∇u)=−0,所以
∇ ⋅ ( σ ( x , y ) ∇ u ( x , y ) ) = 0 , ( x , y ) ∈ Ω ( 二维的 ) ∇ · (\sigma(x, y)∇u(x, y)) = 0, (x, y) ∈ Ω(二维的) ∇⋅(σ(x,y)∇u(x,y))=0,(x,y)∈Ω(二维的)
边界条件
u ( x , y ) = f ( x , y ) 电压 , ( x , y ) ∈ ∂ Ω u(x, y) = f(x, y)电压, (x, y) ∈ ∂Ω u(x,y)=f(x,y)电压,(x,y)∈∂Ω
σ ( x , y ) ∂ u / ∂ ν ( x , y ) = j ( x , y ) 电流， ( x , y ) ∈ ∂ Ω， v 是边界法线方向 \sigma(x, y) ∂u /∂ν (x, y) = j(x, y)电流， (x, y) ∈ ∂Ω，v是边界法线方向 σ(x,y)∂u/∂ν(x,y)=j(x,y)电流，(x,y)∈∂Ω，v是边界法线方向
CG
电阻抗成像重构算法研究论文
http://www.siltanen-research.net/publ/Dbar_demystified.pdf
https://www.sce.carleton.ca/faculty/adler/publications/2019/hamilton-2019-compare-d-bar.pdf
偏微分中的H1/2空间是什么意思