3.8 范德蒙德行列式

范德蒙德行列式

  范德蒙德行列式Vandermonde determinant，是考研热门，但是不会直接考范德蒙德行列式，一般都是对其进行一些变形再拿出来考。要说实际应用的话，在工程中确实没什么用，因为实际工作中哪有这么理想这么优雅的矩阵呢？
  好了，闲话少说，范德蒙德行列式是以下矩阵的行列式，另外它还有个德尔塔符号：
Δ ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = ∣ 1 1 ⋯ 1 1 x 1 x 2 ⋯ x n − 1 x n x 1 2 x 2 2 ⋯ x n − 1 2 x n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ x 1 n − 1 x 2 n − 1 ⋯ x n − 1 n − 1 x n n − 1 ∣ \Delta(x_1,x_2,\cdots,x_n)= \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 & 1\\ x_1 & x_2 & \cdots & x_{n-1} & x_n\\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_{n-1}^2 & x_n^2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_{n-1}^{n-1} & x_n^{n-1}\\ \end{vmatrix} Δ(x1​,x2​,⋯,xn​)= ​1x1​x12​⋮x1n−1​​1x2​x22​⋮x2n−1​​⋯⋯⋯⋱⋯​1xn−1​xn−12​⋮xn−1n−1​​1xn​xn2​⋮xnn−1​​ ​
  这个行列式的结果是什么呢？结果是所有组合的差（右边元素减去左边元素）的乘积，用数学语言就是：
$$\prod _{1\le i<j\le n}(a_j-a_i)$$
  怎么证明呢？我们可以学习了五种计算行列式的算法啊！难道这五种都不行吗？先按顺序来说吧。先想想定义法行不行呢？硬要说行，那肯定行，按照定义，穷举所有组合，然后因式分解，但是工作量太大了。那么Chió算法行不行呢？可以，非常合适！那么我讲讲思路。

Chió算法证明

  比如n阶的范德蒙德行列式缩小一阶后变成了这样：
Δ ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = 1 1 n − 2 ∣ ∣ 1 x 1 1 x 2 ∣ ∣ 1 x 1 2 1 x 2 2 ∣ ⋯ ∣ 1 x 1 n − 1 1 x 2 n − 1 ∣ ∣ 1 x 1 1 x 3 ∣ ∣ 1 x 1 2 1 x 3 2 ∣ ⋯ ∣ 1 x 1 n − 1 1 x n n − 1 ∣ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∣ 1 x 1 1 x n ∣ ∣ 1 x 1 2 1 x n 2 ∣ ⋯ ∣ 1 x 1 n − 1 1 x n n − 1 ∣ ∣ = ∣ − x 1 + x 2 − x 1 2 + x 2 2 ⋯ − x 1 n − 1 + x 2 n − 1 − x 1 + x 3 − x 1 2 + x 3 2 ⋯ − x 1 n − 1 + x 3 n − 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ − x 1 + x n − x 1 2 + x n 2 ⋯ − x 1 n − 1 + x n n − 1 ∣ = ∣ x 2 − x 1 x 2 2 − x 1 2 ⋯ x 2 n − 1 − x 1 n − 1 x 3 − x 1 x 3 2 − x 1 2 ⋯ x 3 n − 1 − x 1 n − 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x n − x 1 x n 2 − x 1 2 ⋯ x n n − 1 − x 1 n − 1 ∣ \Delta(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\frac{1}{ 1 ^{n-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix}1 & x_1\\ 1 & x_2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix}1 & x_1^2\\ 1&x_2^2\end{vmatrix}& \cdots & \begin{vmatrix}1 & x_1^{n-1}\\ 1&x_2^{n-1}\end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix}1 & x_1\\ 1&x_3\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}1 & x_1^2\\ 1&x_3^2\end{vmatrix} & \cdots & \begin{vmatrix}1 & x_1^{n-1}\\ 1&x_n^{n-1}\end{vmatrix}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\\ \begin{vmatrix}1 & x_1\\ 1&x_{n}\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}1 & x_1^2\\ 1&x_{n}^2\end{vmatrix} & \cdots & \begin{vmatrix}1 & x_1^{n-1}\\ 1&x_{n}^{n-1}\end{vmatrix}\\ \end{vmatrix}\\= \begin{vmatrix} -x_1 + x_2 & -x_1^2 + x_2^2 &\cdots & -x_1^{n-1} + x_2^{n-1}\\ -x_1 + x_3 & -x_1^2 + x_3^2 & \cdots &-x_1^{n-1} + x_3^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -x_1 + x_n & -x_1^2 + x_n^2 &\cdots & -x_1^{n-1} + x_n^{n-1}\\ \end{vmatrix}\\= \begin{vmatrix} x_2-x_1 & x_2^2 -x_1^2 &\cdots &x_2^{n-1} -x_1^{n-1} \\ x_3-x_1 & x_3^2-x_1^2 &\cdots & x_3^{n-1}-x_1^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_n-x_1 & x_n^ 2-x_1^2 & \cdots & x_n^{n-1}-x_1^{n-1} \\ \end{vmatrix} Δ(x1​,x2​,⋯,xn​)=1n−21​ ​ ​11​x1​x2​​ ​ ​11​x1​x3​​ ​⋮ ​11​x1​xn​​ ​​ ​11​x12​x22​​ ​ ​11​x12​x32​​ ​⋮ ​11​x12​xn2​​ ​​⋯⋯⋱⋯​ ​11​x1n−1​x2n−1​​ ​ ​11​x1n−1​xnn−1​​ ​⋮ ​11​x1n−1​xnn−1​​ ​​​ ​= ​−x1​+x2​−x1​+x3​⋮−x1​+xn​​−x12​+x22​−x12​+x32​⋮−x12​+xn2​​⋯⋯⋱⋯​−x1n−1​+x2n−1​−x1n−1​+x3n−1​⋮−x1n−1​+xnn−1​​ ​= ​x2​−x1​x3​−x1​⋮xn​−x1​​x22​−x12​x32​−x12​⋮xn2​−x12​​⋯⋯⋱⋯​x2n−1​−x1n−1​x3n−1​−x1n−1​⋮xnn−1​−x1n−1​​ ​
  这个时候别再傻不啦叽地继续Chio了，该用高斯消元提取公共元素了，所以上面就可以变成：
∣ x 2 − x 1 x 2 2 − x 1 2 ⋯ x 2 n − 1 − x 1 n − 1 x 3 − x 1 x 3 2 − x 1 2 ⋯ x 3 n − 1 − x 1 n − 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x n − x 1 x n 2 − x 1 2 ⋯ x n n − 1 − x 1 n − 1 ∣ = ( x 2 − x 1 ) ( x 3 − x 1 ) ⋯ ( x n − x 1 ) ∣ 1 x 2 + x 1 ⋯ x 2 n − 2 + x 2 n − 3 x 1 + ⋯ + x 2 x 1 n − 3 + x 1 n − 2 1 x 3 + x 1 ⋯ x 3 n − 2 + x 3 n − 3 x 1 + ⋯ + x 3 x 1 n − 3 + x 1 n − 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 x n + x 1 ⋯ x n n − 2 + x n n − 3 x 1 + ⋯ + x n x 1 n − 3 + x 1 n − 2 ∣ = ∏ i = 2 n ( x i − x 1 ) ∣ 1 x 2 + x 1 ⋯ ∑ k = 0 n − 2 x 2 n − 2 − k x i k 1 x 3 + x 1 ⋯ ∑ k = 0 n − 2 x 3 n − 2 − k x i k ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 x n + x 1 ⋯ ∑ k = 0 n − 2 x n n − 2 − k x i k ∣ \begin{vmatrix} x_2-x_1 & x_2^2 -x_1^2 &\cdots &x_2^{n-1} -x_1^{n-1} \\ x_3-x_1 & x_3^2-x_1^2 & \cdots & x_3^{n-1}-x_1^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_n-x_1 & x_n^ 2-x_1^2 & \cdots & x_n^{n-1}-x_1^{n-1} \\ \end{vmatrix}\\=(x_2-x_1)(x_3-x_1)\cdots(x_n-x_1) \begin{vmatrix} 1 & x_2+x_1 & \cdots & x_2^{n-2} +x_2^{n-3}x_1+\cdots +x_2x_1^{n-3}+x_1^{n-2}\\ 1 & x_3+x_1 & \cdots & x_3^{n-2} +x_3^{n-3}x_1+\cdots +x_3x_1^{n-3}+x_1^{n-2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n+x_1 & \cdots & x_n^{n-2} +x_n^{n-3}x_1+\cdots +x_nx_1^{n-3}+x_1^{n-2} \\ \end{vmatrix}\\=\prod_{i=2}^n(x_i-x_1) \begin{vmatrix} 1 & x_2+x_1 & \cdots & \sum_{k=0}^{n-2}{x_2^{n-2-k}x_i^k}\\ 1 & x_3+x_1 & \cdots & \sum_{k=0}^{n-2}{x_3^{n-2-k}x_i^k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n+x_1 & \cdots & \sum_{k=0}^{n-2}{x_n^{n-2-k}x_i^k} \\ \end{vmatrix} ​x2​−x1​x3​−x1​⋮xn​−x1​​x22​−x12​x32​−x12​⋮xn2​−x12​​⋯⋯⋱⋯​x2n−1​−x1n−1​x3n−1​−x1n−1​⋮xnn−1​−x1n−1​​ ​=(x2​−x1​)(x3​−x1​)⋯(xn​−x1​) ​11⋮1​x2​+x1​x3​+x1​⋮xn​+x1​​⋯⋯⋱⋯​x2n−2​+x2n−3​x1​+⋯+x2​x1n−3​+x1n−2​x3n−2​+x3n−3​x1​+⋯+x3​x1n−3​+x1n−2​⋮xnn−2​+xnn−3​x1​+⋯+xn​x1n−3​+x1n−2​​ ​=i=2∏n​(xi​−x1​) ​11⋮1​x2​+x1​x3​+x1​⋮xn​+x1​​⋯⋯⋱⋯​∑k=0n−2​x2n−2−k​xik​∑k=0n−2​x3n−2−k​xik​⋮∑k=0n−2​xnn−2−k​xik​​ ​
  这个时候，就需要用到行列式转置后行列式不变的的性质了。将右边改一下：
∣ 1 x 2 + x 1 ⋯ ∑ k = 0 n − 2 x 2 n − 2 − k x i k 1 x 3 + x 1 ⋯ ∑ k = 0 n − 2 x 3 n − 2 − k x i k ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 x n + x 1 ⋯ ∑ k = 0 n − 2 x n n − 2 − k x i k ∣ = ∣ 1 1 ⋯ 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 ⋯ x n + x 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∑ k = 0 n − 2 x 2 n − 2 − k x i k ∑ k = 0 n − 2 x 3 n − 2 − k x i k ⋯ ∑ k = 0 n − 2 x n n − 2 − k x i k ∣ \begin{vmatrix} 1 & x_2+x_1 & \cdots & \sum_{k=0}^{n-2}{x_2^{n-2-k}x_i^k}\\ 1 & x_3+x_1 & \cdots & \sum_{k=0}^{n-2}{x_3^{n-2-k}x_i^k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n+x_1 & \cdots & \sum_{k=0}^{n-2}{x_n^{n-2-k}x_i^k} \\ \end{vmatrix}\\= \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots &1 \\ x_2+x_1& x_3+x_1 & \cdots & x_n+x_1\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_{k=0}^{n-2}{x_2^{n-2-k}x_i^k} &\sum_{k=0}^{n-2}{x_3^{n-2-k}x_i^k} & \cdots & \sum_{k=0}^{n-2}{x_n^{n-2-k}x_i^k} \end{vmatrix} ​11⋮1​x2​+x1​x3​+x1​⋮xn​+x1​​⋯⋯⋱⋯​∑k=0n−2​x2n−2−k​xik​∑k=0n−2​x3n−2−k​xik​⋮∑k=0n−2​xnn−2−k​xik​​ ​= ​1x2​+x1​⋮∑k=0n−2​x2n−2−k​xik​​1x3​+x1​⋮∑k=0n−2​x3n−2−k​xik​​⋯⋯⋱⋯​1xn​+x1​⋮∑k=0n−2​xnn−2−k​xik​​ ​
  再使用初等行变换，就是第一行乘以$-x_1$加到第二行，所以就变成了：
∣ 1 1 ⋯ 1 x 2 x 3 ⋯ x n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∑ k = 0 n − 2 x 2 n − 2 − k x i k ∑ k = 0 n − 2 x 3 n − 2 − k x i k ⋯ ∑ k = 0 n − 2 x n n − 2 − k x i k ∣ \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots &1 \\ x_2& x_3 & \cdots & x_n\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_{k=0}^{n-2}{x_2^{n-2-k}x_i^k} &\sum_{k=0}^{n-2}{x_3^{n-2-k}x_i^k} & \cdots & \sum_{k=0}^{n-2}{x_n^{n-2-k}x_i^k} \end{vmatrix} ​1x2​⋮∑k=0n−2​x2n−2−k​xik​​1x3​⋮∑k=0n−2​x3n−2−k​xik​​⋯⋯⋱⋯​1xn​⋮∑k=0n−2​xnn−2−k​xik​​ ​
  第一行乘以$-x_1^2$加到第3行,第一行乘以$-x_1^3$加到第4行,以此类推，就变成了：
∣ 1 1 ⋯ 1 x 2 x 3 ⋯ x n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∑ k = 0 n − 3 x 2 n − 2 − k x i k ∑ k = 0 n − 3 x 3 n − 2 − k x i k ⋯ ∑ k = 0 n − 3 x n n − 2 − k x i k ∣ \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots &1 \\ x_2& x_3 & \cdots & x_n\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_{k=0}^{n-3}{x_2^{n-2-k}x_i^k} &\sum_{k=0}^{n-3}{x_3^{n-2-k}x_i^k} & \cdots & \sum_{k=0}^{n-3}{x_n^{n-2-k}x_i^k} \end{vmatrix} ​1x2​⋮∑k=0n−3​x2n−2−k​xik​​1x3​⋮∑k=0n−3​x3n−2−k​xik​​⋯⋯⋱⋯​1xn​⋮∑k=0n−3​xnn−2−k​xik​​ ​
  然后第二行乘以$-x_1$加到第三行,第二行乘以$-x_1^2$加到第四行就变成了：
∣ 1 1 1 x 2 x 3 ⋯ x n x 2 2 x 3 2 ⋯ x n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∑ k = 0 n − 4 x 2 n − 2 − k x i k ∑ k = 0 n − 4 x 3 n − 2 − k x i k ⋯ ∑ k = 0 n − 4 x n n − 2 − k x i k ∣ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x_2& x_3 & \cdots & x_n\\ x_2^2& x_3^2 & \cdots & x_n^2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_{k=0}^{n-4}{x_2^{n-2-k}x_i^k} &\sum_{k=0}^{n-4}{x_3^{n-2-k}x_i^k} & \cdots & \sum_{k=0}^{n-4}{x_n^{n-2-k}x_i^k} \end{vmatrix}\\ ​1x2​x22​⋮∑k=0n−4​x2n−2−k​xik​​1x3​x32​⋮∑k=0n−4​x3n−2−k​xik​​1⋯⋯⋱⋯​xn​xn2​⋮∑k=0n−4​xnn−2−k​xik​​ ​

  如此循环下去这就不就是$x_2,x_3,\cdots ,x_n$形成的范德蒙德行列式吗？所以我们得出了一个结论：
$$\Delta (x_1,x_2,\cdots ,x_n)=\prod _{i=2}^n(x_i-x_1)\Delta (x_2,\cdots ,x_n)$$
  然后递归下去就有了，结果就证明出来了。同样是递归算法，那么Dodgson算法行不行呢？很麻烦，因为它要除于中心块，这样会带来大量的分式运算。所以直接放弃。那再想想按一行展开行不行呢？完全可以，因为第一行全部是1嘛。

按第一行展开证明

  按第一行展开的话，不要急着直接展开，可以先进行初等列变换，将第一列乘以$-1$加到第其他列，整个行列式就变成了这样：
∣ 1 0 ⋯ 0 0 x 1 x 2 − x 1 ⋯ x n − 1 − x 1 x n − x 1 x 1 2 x 2 2 − x 1 2 ⋯ x n − 1 2 − x 1 2 x n 2 − x 1 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ x 1 n − 1 x 2 n − 1 − x 1 n − 1 ⋯ x n − 1 n − 1 − x 1 n − 1 x n n − 1 − x 1 n − 1 ∣ \begin{vmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ x_1 & x_2-x_1 & \cdots & x_{n-1}-x_1 & x_n-x_1\\ x_1^2 & x_2^2-x_1^2 & \cdots & x_{n-1}^2-x_1^2 & x_n^2-x_1^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} -x_1^{n-1} & \cdots & x_{n-1}^{n-1} -x_1^{n-1} & x_n^{n-1} -x_1^{n-1} \\ \end{vmatrix} ​1x1​x12​⋮x1n−1​​0x2​−x1​x22​−x12​⋮x2n−1​−x1n−1​​⋯⋯⋯⋱⋯​0xn−1​−x1​xn−12​−x12​⋮xn−1n−1​−x1n−1​​0xn​−x1​xn2​−x12​⋮xnn−1​−x1n−1​​ ​
  然后按第一行展开，因为其他位置是0，所以就直接变成了$n-1$阶的行列式,再转置下，就变成了我用Chió算法证明出现过的行列式：
∣ x 2 − x 1 ⋯ x n − 1 − x 1 x n − x 1 x 2 2 − x 1 2 ⋯ x n − 1 2 − x 1 2 x n 2 − x 1 2 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ x 2 n − 1 − x 1 n − 1 ⋯ x n − 1 n − 1 − x 1 n − 1 x n n − 1 − x 1 n − 1 ∣ = ∣ x 2 − x 1 x 2 2 − x 1 2 ⋯ x 2 n − 1 − x 1 n − 1 x 3 − x 1 x 3 2 − x 1 2 ⋯ x 3 n − 1 − x 1 n − 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x n − x 1 x n 2 − x 1 2 ⋯ x n n − 1 − x 1 n − 1 ∣ \begin{vmatrix} x_2-x_1 & \cdots & x_{n-1}-x_1 & x_n-x_1\\ x_2^2-x_1^2 & \cdots & x_{n-1}^2-x_1^2 & x_n^2-x_1^2 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ x_2^{n-1} -x_1^{n-1} & \cdots & x_{n-1}^{n-1} -x_1^{n-1} & x_n^{n-1} -x_1^{n-1} \\ \end{vmatrix}\\= \begin{vmatrix} x_2-x_1 & x_2^2 -x_1^2 &\cdots &x_2^{n-1} -x_1^{n-1} \\ x_3-x_1 & x_3^2-x_1^2 &\cdots & x_3^{n-1}-x_1^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_n-x_1 & x_n^ 2-x_1^2 & \cdots & x_n^{n-1}-x_1^{n-1} \\ \end{vmatrix} ​x2​−x1​x22​−x12​⋮x2n−1​−x1n−1​​⋯⋯⋱⋯​xn−1​−x1​xn−12​−x12​⋮xn−1n−1​−x1n−1​​xn​−x1​xn2​−x12​⋮xnn−1​−x1n−1​​ ​= ​x2​−x1​x3​−x1​⋮xn​−x1​​x22​−x12​x32​−x12​⋮xn2​−x12​​⋯⋯⋱⋯​x2n−1​−x1n−1​x3n−1​−x1n−1​⋮xnn−1​−x1n−1​​ ​
  剩下的就和Chió算法证明过程一样，我就不再叙述了。因为按一行展开其实是按k行展开的$k=1$时的特殊情况。最后一种算法高斯消元，怎么说呢？单纯用高斯消元也行，但是那样涉及大量的因式分解运算，非常麻烦。所以还是和行列式按1行展开进行配合才最好计算。

结语

  范德蒙德行列式这就介绍完了，接下来我要介绍朗斯基行列式，说完朗斯基行列式，整个行列式我就说完了。