数据结构与算法之二叉排序(查找)树
前言
前面介绍学习的大多是线性表相关的内容，把指针搞懂后其实也没有什么难度。规则相对是简单的。
再数据结构中树、图才是数据结构标志性产物，(线性表大多都现成api可以使用),因为树的难度相比线性表大一些并且树的拓展性很强，你所知道的树、二叉树、二叉排序树，AVL树，线索二叉树、红黑树、B数、线段树等等高级数据结构。然而二叉排序树是所有的基础，所以彻底搞懂二叉排序树也是非常重要的。
树
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二叉树也是树的一种，而二叉排序树又是二叉树的一种。
树是递归的，将树的任何一个节点以及节点下的节点都能组合成一个新的树。并且很多操作基于递归完成。
根节点： 最上面的那个节点(root)，根节点没有前驱节点，只有子节点（0个或多个都可以）
层数： 一般认为根节点是第1层(有的也说第0层)。而树的高度就是层数最高(上图层数开始为1)节点的层数
节点关系: 父节点：就是链接该节点的上一层节点,孩子节点:和父节点对应，上下关系。而祖先节点是父节点的父节点(或者祖先）节点。兄弟节点：拥有同一个父节点的节点们！
度： 节点的度就是节点拥有孩子节点的个数(是孩子不是子孙).而树的度(最大)节点的度。同时，如果度大于0就成为分支节点,度等于0就成为叶子节点（没有子孙）。
相关性质：
~树的节点数=所有节点度数+1.
度为m的树第i层最多有mi-1个节点。(i>=1)
高度而h的m叉树最多（mh-1）/(m-1)个节点(等比数列求和)
n个节点的m叉树最小高度[logm(n(m-1)+1)]
二叉树
二叉树是一树的一种，但应用比较多，所以需要深入学习。二叉树的每个节点最多只有两个节点。
二叉树与度为2的树的区别：
度为2的的树必须有三个节点以上，二叉树可以为空。
二叉树的度不一定为2：比如说斜树。
二叉树有左右节点区分，而度为2的树没有左右节点的区分。
几种特殊二叉树：
满二叉树。高度为n的满二叉树有2n-1个节点
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完全二叉树：上面一层全部满，最下一层从左到右顺序排列
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二叉排序树：树按照一定规则插入排序(本文详解)。
平衡二叉树：树上任意节点左子树和右子树深度差距不超过1.
二叉树性质：
相比树，二叉树的性质就是树的性质更加具体化。
非空二叉树叶子节点数=度为2的节点树+1.本来一个节点如果度为1.那么一直延续就一个叶子，但如果出现一个度为2除了延续原来的一个节点，会多出一个节点需要维系。所以到最后会多出一个叶子。
非空第i层最多有2i-1个节点。
高为h的树最多有2h-1个节点(等比求和)。
完全二叉树若从左往右，从上到下编号如图：
二叉排序(搜索)树
概念
前面铺垫那么多，咱们言归正传，详细实现一个二叉排序树。首先要了解二叉排序树的规则：
从任意节点开始，节点左侧节点值总比节点右侧值要小。
例如。一个二叉排序树依次插入15，6，23，7，4，71，5，50会形成下图顺序
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构造
首先二叉排序树是由若干节点构成。
对于node需要这些属性：left，right，和value。其中left和right是左右指针，而value是储存的数据，这里用*int *类型。
node类构造为：
class node {//结点
public int value;
public node left;
public node right;
public node()
{
}
public node(int value)
{
this.value=value;
this.left=null;
this.right=null;
}
public node(int value,node l,node r)
{
this.value=value;
this.left=l;
this.right=r;
}
}
~既然节点构造好了，那么就需要节点等其他信息构造成树。有了链表构造经验，很容易得知一棵树最主要的还是root根节点。
所以树的构造为：
public class BinarySortTree {
node root;//根
public BinarySortTree()
{root=null;}
public void makeEmpty()//变空
{root=null;}
public boolean isEmpty()//查看是否为空
{return root==null;}
//各种方法
}
主要方法
既然已经构造号一棵树，那么就需要实现主要的方法。因为二叉排序树中每个节点都能看作一棵树。所以我们创建方法的是时候加上节点参数(也就是函数对每一个节点都能有效)
findmax(),findmin()
findmin()找到最小节点：
因为所有节点的最小都是往左插入，所以只需要找到最左侧的返回即可。
findmax()找到最大节点：
因为所有节点大的都是往右面插入，所以只需要找到最右侧的返回即可。
代码使用递归函数
public node findmin(node t)//查找最小返回值是node，调用查看结果时需要.value
{
if(t==null) {return null;}
else if(t.left==null) {return t;}
else return(findmin(t.left));
}
public node findmax(node t)//查找最大
{
if(t==null) {return null;}
else if(t.right==null) {return t;}
else return(findmax(t.right));
}
isContains(int x)
这里的意思是查找二叉查找树中是否存在x。
假设我们我们插入x，那么如果存在x我们一定会在查找插入路径的过程中遇到x。因为你可以如果已经存在的点，再它的前方会走一次和它相同的步骤。也就是说前面固定，我来1w次x，那么x都会到达这个位置。那么我们直接进行查找比较即可！
public boolean isContains(int x)//是否存在
{
node current=root;
if(root==null) {return false;}
while(current.value!=x&¤t!=null)
{
if(x<current.value) {current=current.left;}
if(x>current.value) {current=current.right;}
if(current==null) {return false;}//在里面判断如果超直接返回
}
//如果在这个位置判断是否为空会导致current.value不存在报错
if(current.value==x) {return true;}
return false;
}
insert(int x)
插入的思想和前面isContains类似。找到自己的位置(空位置)插入。但是又不太一样。你可能会疑问为什么不直接找到最后一个空，然后将current赋值过去current=new node(x)。这样的化current就相当于指向一个new node(x)节点。和树就脱离关系，所以要提前判定是否为空，若为空将它的left或者right赋值即可。
public node insert(int x)// 插入 t是root的引用
{
node current = root;
if (root == null) {
root = new node(x);
return root;
}
while (current != null) {
if (x < current.value) {
if (current.left == null) {
return current.left = new node(x);}
else current = current.left;}
else if (x > current.value) {
if (current.right == null) {
return current.right = new node(x);}
else current = current.right;
}
}
return current;//其中用不到
}
delete(int x)
删除操作算是一个相对较难理解的操作了。
删除节点规则：
先找到这个点。这个点用这个点的子树可以补上的点填充该点，然后在以这个点为头删除替代的子节点（调用递归）然后在添加到最后情况（只有一个分支，等等）。
首先要找到移除的位置，然后移除的那个点分类讨论，如果有两个儿子，就选右边儿子的最左侧那个点替代，然后再子树删除替代的那个点。如果是一个节点，判断是左空还是右空，将这个点指向不空的那个。不空的那个就替代了这个节点。入股左右都是空，那么他自己变空null就删除了。
删除的节点没有子孙:
这种情况不需要考虑，直接删除即可。(途中红色点)。另节点=null即可。
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左节点为空、右节点为空：
此种情况也很容易，直接将删除点的子节点放到被删除位置即可。
左右节点均不空
这种情况相对是复杂的。因为这涉及到一个策略问题。
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如果拿19或者71节点填补。虽然可以保证部分侧大于小于该节点，但是会引起合并的混乱.比如你若用71替代23节点。那么你需要考虑三个节点(19,50,75)之间如何处理，还要考虑他们是否满，是否有子女。这是个极其复杂的过程。
首先，我们要分析我们要的这个点的属性：能够继承被删除点的所有属性。如果取左侧节点(例如17)那么首先能满足所有右侧节点都比他大（右侧比左侧大）。那么就要再这边选一个最大的点让左半枝都比它小。我们分析左支最大的点一定是子树最右侧！
如果这个节点是最底层我们很好考虑，可以直接替换值，然后将最底层的点删除即可。但是如果这个节点有左枝。我们该怎么办？
这个分析起来也不难，用递归的思想啊。我们删除这个节点，用可以满足的节点替换了。会产生什么样的后果？
多出个用过的19节点，转化一下，在左子树中删除19的点！那么这个问题又转化为删除节点的问题，查找左子树中有没有能够替代19这个点的。
所以整个删除算法流程为：
代码为：
public node remove(int x, node t)// 删除节点
{
if (t == null) {
return null;
}
if (x < t.value) {
t.left = remove(x, t.left);
} else if (x > t.value) {
t.right = remove(x, t.right);
} else if (t.left != null && t.right != null)// 左右节点均不空
{
t.value = findmin(t.right).value;// 找到右侧最小值替代
t.right = remove(t.value, t.right);
} else // 左右单空或者左右都空
{
if (t.left == null && t.right == null) {
t = null;
} else if (t.right != null) {
t = t.right;
} else if (t.left != null) {
t = t.left;
}
return t;
}
return t;
}
完整代码
二叉排序树完整代码为：
package 二叉树;
import java.util.ArrayDeque;
import java.util.Queue;
import java.util.Stack;
public class BinarySortTree {
class node {// 结点
public int value;
public node left;
public node right;
public node() {
}
public node(int value) {
this.value = value;
this.left = null;
this.right = null;
}
public node(int value, node l, node r) {
this.value = value;
this.left = l;
this.right = r;
}
}
node root;// 根
public BinarySortTree() {
root = null;
}
public void makeEmpty()// 变空
{
root = null;
}
public boolean isEmpty()// 查看是否为空
{
return root == null;
}
public node findmin(node t)// 查找最小返回值是node，调用查看结果时需要.value
{
if (t == null) {
return null;
} else if (t.left == null) {
return t;
} else
return (findmin(t.left));
}
public node findmax(node t)// 查找最大
{
if (t == null) {
return null;
} else if (t.right == null) {
return t;
} else
return (findmax(t.right));
}
public boolean isContains(int x)// 是否存在
{
node current = root;
if (root == null) {
return false;
}
while (current.value != x && current != null) {
if (x < current.value) {
current = current.left;
}
if (x > current.value) {
current = current.right;
}
if (current == null) {
return false;
} // 在里面判断如果超直接返回
}
// 如果在这个位置判断是否为空会导致current.value不存在报错
if (current.value == x) {
return true;
}
return false;
}
public node insert(int x)// 插入 t是root的引用
{
node current = root;
if (root == null) {
root = new node(x);
return root;
}
while (current != null) {
if (x < current.value) {
if (current.left == null) {
return current.left = new node(x);}
else current = current.left;}
else if (x > current.value) {
if (current.right == null) {
return current.right = new node(x);}
else current = current.right;
}
}
return current;//其中用不到
}
public node remove(int x, node t)// 删除节点
{
if (t == null) {
return null;
}
if (x < t.value) {
t.left = remove(x, t.left);
} else if (x > t.value) {
t.right = remove(x, t.right);
} else if (t.left != null && t.right != null)// 左右节点均不空
{
t.value = findmin(t.right).value;// 找到右侧最小值替代
t.right = remove(t.value, t.right);
} else // 左右单空或者左右都空
{
if (t.left == null && t.right == null) {
t = null;
} else if (t.right != null) {
t = t.right;
} else if (t.left != null) {
t = t.left;
}
return t;
}
return t;
}
}
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