2020-07-21 迭代法（From GitChat）

迭代法的实现，一般需要确定以下三个要点。

确定迭代变量：

迭代变量一般就是要求解的问题的解，利用迭代递推公式可以不断地由旧值递推出新值。根据问题的不同，迭代变量可以是一个，也可以是多个。确定迭代变量，通常还要根据迭代递推关系给出迭代变量的初始值，这一点也很重要。

确定迭代递推关系：

迭代递推关系是根据旧值计算新值的关系或公式，这是迭代法实现的关键，如果不能确定迭代关系，则无法用迭代法实现算法。

确定迭代终止条件：

迭代终止条件是控制迭代过程退出的关键条件。迭代不可能无休止地进行，必须设置迭代终止条件，在适当的时候退出迭代。
迭代终止条件一般有三种假设：
-其一是迭代变量已经求得问题的精确值；
-其二是迭代变量无法得到精确值，但是某个迭代的值的精度已经满足要求；
-其三是指定明确的迭代计算次数。迭代算法的具体实现，可根据问题的类型选择迭代终止条件。
一般情况下，为了防止迭代关系在某个区间上发散（不收敛）使得算法进入死循环，都会把第三个条件作为异常退出条件和其他迭代终止条件配合使用，也就是说，即使无法得到符合条件的解，只要迭代计算次数达到某个限制值，也退出迭代过程。

迭代法的例子

计算一个数的平方根，数学上一般用迭代法，常用的迭代递推公式是：

图片.png

迭代法的三个要素都有体现。迭代递推关系就是上面的递推公式，迭代变量就是要计算的平方根 x{i}。 当某次迭代计算后得到的x{i}符合精度要求，则迭代计算终止，除此之外，为了防止在给出的初始值附近无法收敛，还要给出一个控制迭代计算次数的控制条件。

std::pair cl_root(double a, double eps)
{
    double xi = a / 2.0; //初始值用 a 的一半，很多人的选择
    double xt;
    int count = 0;
    do
    {
        xt = xi;
        xi = (xt + (a / xt)) / 2.0;
        count++; //用于检查是否收敛的计数器
        if (count >= LOOP_LIMIT)
        {
            return {false, 0.0}; //不收敛，返回失败 
        }
    } while (std::fabs(xi - xt) > eps);

    return { true, xi };
}